【课堂新坐标】（教师用书）2013-备考2015学年高中数学 2.3（3 4）直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质课时训练 新人教版必修2.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3（3+4）直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质课时训练 新人教版必修2 一、选择题 1．如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　) 三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径； 正六边形的两条边． A．　　B．　　C．　　D． 【解析】　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面．对于图形中的两边不一定是相交直线，故该直线与它们所在的平面不一定垂直． 【答案】　A 2．如图2－3－5，四棱锥P—ABCD中，PA平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的(　　) 图2－3－5 A．PAD B．PDA C．PDB D．PDC 【解析】　PA⊥平面ABCD， AD是PD在平面ABCD上的射影，故PDA是PD与平面ABCD所成的角． 【答案】　B 3．(2013·德州高一检测)空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 【解析】　取BD的中点E，连接AE，CE. 可证BDAE，BDCE， 而AE∩CE＝E， 即得BD平面AEC.得BDAC，故选C. 【答案】　C 4．若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与平面α所成角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 【解析】　设AB与平面α所成的角为θ，由题意可知cos θ＝，θ＝60°. 【答案】　C 5．(2013·汕头高一检测)已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【解析】　如图，PA、PB、PC两两垂直，PA⊥平面PBC，PA⊥BC. 又BCPH，PA∩PH＝P， BC⊥平面PAH， BC⊥AH. 同理ABCH，ACBH. ∴点H为ABC的垂心． 【答案】　C 二、填空题 6．如图2－3－6所示：直角ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．则直线SD与平面ABC的位置关系为________． 图2－3－6 【解析】　SA＝SC，点D为斜边AC的中点，SD⊥AC. 则在RtABC中，AD＝DC＝BD， ADS≌△BDS， SD⊥BD.又AC∩BD＝D， SD⊥平面ABC. 【答案】　垂直 7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形一定是________． 【解析】　如图，PA平面ABCD，BD平面ABCD， BD⊥PA，又BDPC，PA∩PC＝P，BD⊥平面PAC. AC平面PAC，BD⊥AC. ∴ABCD为菱形． 【答案】　菱形 8．如图2－3－7，ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4 cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2 cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为________． 图2－3－7 【解析】　过P作PO平面ABC于O，连接CO，则CO为ABC的平分线，且PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，连接OF，易知CFO为直角三角形，又PC＝4，PF＝2，CF＝2，CO＝2，在RtPCO中，cos θ＝＝，θ＝45°. 【答案】　45° 三、解答题 9．(2013·临沂高一检测)如图2－3－8，已知ABC中，ACB＝90°，SA平面ABC，ADSC于D，求证：AD平面SBC. 图2－3－8 【证明】　ACB＝90°，BC⊥AC. 又SA平面ABC，SA⊥BC. 又AC∩SA＝A，BC⊥平面SAC. AD?平面SAC，BC⊥AD. 又SCAD，SC∩BC＝C，AD⊥平面SBC. 10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求： (1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值； (2)EF与平面A1B1C1D1所成的角． 【解】　(1)如图所示，连接DB， D1D⊥平面ABCD，DB是D1B在平面ABCD内的射影．则D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角． DB＝AB，D1B＝AB， cos∠D1BD＝＝， 即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为. (2)E是A1A的中点，A1A平面A1B1C1D1， EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角． 在RtEA1F中，F是A1D1的中点，EFA1＝45°. 11．如图2－3－9，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a0)，PA平面ABCD，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQQD，并说明理由． 图2－3－9 【解】　假设存在点Q，使得PQQD. 由已知PA平面ABCD，且DQ平面ABCD， PA⊥DQ. 又PQ⊥DQ