【金版教程】2015届高考数学大一轮总复习 2-13（二）定积分与微积分基本定理限时规范训练 理.docVIP

05限时规范特训 A级　基础达标 1．[2014·东北四校模拟]若(2x＋)dx＝3＋ln2(a1)，则a的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：∵(2x＋)dx＝(x2＋lnx)＝a2＋lna－(12＋ln1)＝a2－1＋lna. 且(2x＋)dx＝3＋ln2. ∴a2－1＋lna＝3＋ln2，∴a＝2，故选A. 答案：A 2．如图所示，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，则该叶形图的面积是(　　) A. B. C. D. 解析：由，解得或，根据积分的应用可得阴影部分的面积为(－x2)dx＝(x－x3)＝－＝，选D. 答案：D 3．[2014·长春外国语学校月考]设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为(　　) A. B. C. D. 解析：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝x2dx＋dx＝＋lnx＝＋lne＝，故选A. 答案：A 4．[2014·西安中学月考]定积分π(16－x2)dx等于(　　) A．半径为4的球的体积 B．半径为4的四分之一球的体积 C．半径为4的半球的体积 D．半径为4的球面积 解析：π(16－x2)dx＝(16πx－πx3)＝×64π.再将各选项中的结果求出，可知C选项中的结果与题目结果一样，故选C. 答案：C 5．[2014·长春调研]设a＝xdx，b＝1－xdx，c＝x3dx，则a、b、c的大小关系为(　　) A．abc B．bac C．acb D．bca 解析：由题意可得a＝xdx＝＝x＝，b＝1－xdx＝1－＝1－(－0)＝，c＝x3dx＝＝，综上abc，故选A. 答案：A 6．[2014·丰台模拟]由曲线y＝与y＝x，x＝4以及x轴所围成的封闭图形的面积是(　　) A. B. C．ln4＋ D．ln4＋1 解析： 如图，面积S＝xdx＋ dx＝x2＋lnx＝＋ln4. 答案：C 7．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)，则实数a＝________. 解析：因为＝(x3＋x2＋x)＝4，所以2f(a)＝4，即f(a)＝2，所以f(a)＝3a2＋2a＋1＝2，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或. 答案：－1或 8．[2014·泉州质检]设f(x)＝，若f(f(3))＝9，则a的值是________． 解析：由f(f(3))＝f(ln1)＝f(0)＝20＋(3t2)dt＝9，得t3＝a3＝8，即a＝2. 答案：2 9. 如图，在矩形ABDC中，AB＝1，AC＝2，O为AC的中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线的顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机地投一点，则此点落在阴影部分的概率为________． 解析：取BD的中点E，以O为坐标原点，OE所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则抛物线方程为y2＝x，曲边三角形AOB的面积为1－dx＝1－x＝，又矩形ABDC的面积为2，根据几何概型的概率计算公式得，此点落在阴影部分的概率为＝. 答案： 10. 如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值． 解：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1， 所以，抛物线与x轴所围图形的面积 S＝(x－x2)dx＝(－x3)＝. 又抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为 x3＝0，x4＝1－k，所以， ＝∫(x－x2－kx)dx＝(x2－x3)＝(1－k)3. 又知S＝，所以(1－k)3＝， 于是k＝1－＝1－. 11．[2014·大同模拟]如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的封闭图形的面积． 解：由题意，知抛物线y＝－x2＋4x－3在点A处的切线斜率k1＝y′|x＝0＝4，在点B处的切线斜率k2＝y′|x＝3＝－2.因此，抛物线在点A处的切线方程为y＝4x－3，在点B处的切线方程为y＝－2x＋6. 设两切线相交于点M，由消去y，得x＝，即点M的横坐标为. 在区间[0，]上，直线y＝4x－3在曲线y＝－x2＋4x－3的上方； 在区间[，3]上，直线y＝－2x＋6在曲线y＝－x2＋4x－3的上方． 因此，所求图形的面积是 12. [2014·信阳调研]在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值． 解：面积S1等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积， 即S1＝t·t2－ x2dx＝t3. S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t. 即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋. 所以阴影部分面积 S