高考数学复习讲义课件第五章平面向量 第三讲　平面向量的数量积及向量的应用.pptx

目 录 Contents 考情精解读 考点一　平面向量的数量积 考点二　数量积的性质和运算律 考点三　平面向量数量积的坐标表示 考点四　平面向量应用举例 考纲解读 命题趋势 命题规律 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 考纲解读 命题趋势 命题规律 考查内容 考查频次 考查题型 所占分值 数量积的定义及长度、角度问题 3年27考 选择题 填空题 4分、5分 平面向量的综合应用 3年15考 选择题 填空题 解答题 4分-15分 考纲解读 命题趋势 命题规律 1.预计高考对本讲内容的考查以向量的长度、角度及数量积为主. 2.以向量数量积的运算为载体,综合考查三角函数、解析几何等知识是一种新的趋势,复习时应予以关注. 返回目录 继续学习 考点一　平面向量的数量积 1.向量的夹角 图5-3-1 继续学习 如图5-3-2所示, 当θ=0°时,两向量a,b共线且同向; 当θ=90°时,两向量a,b相互垂直,记作a⊥b; 当θ=180°时,两向量a,b共线但反向. 图5-3-2 继续学习 图5-3-3 规定:零向量与任一向量平行. 继续学习 2.两个向量的数量积定义 已知两个非零向量a与b,我们把|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,其中θ是a与b的夹角.  规定:零向量与任意向量的数量积为零. 3.向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影 设θ是a,b的夹角,则|b|cos θ叫做向量b在向量a方向上的投影,|a|cos θ叫做向量a在向量b方向上的投影. (2)a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积. 【注意】投影和两向量的数量积都是数量,不是向量. 返回目录 【通关秘籍】 设两个非零向量a与b的夹角为θ,则 当θ=0°时,cos θ=1,a·b=|a||b|; 当θ为锐角时,cos θ0,a·b0; 当θ为直角时,cos θ=0,a·b=0; 当θ为钝角时,cos θ0,a·b0; 当θ=180°时,cos θ=-1,a·b=-|a||b|. 继续学习 考点二　 数量积的性质和运算律 继续学习 2.向量数量积的运算律 a·b=b·a (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) (a+b)·c=a·c+b·c 返回目录 【通关秘籍】 实数运算与向量数量积运算的区别和联系是什么? 1.在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0或b=0成立.实际上由a·b=0可推出以下四种结论: (1)a=0,b=0;(2)a=0,b≠0;(3)a≠0,b=0;(4)a≠0,b≠0,但a⊥b. 2.在实数运算中,若a,b∈R,则|ab|=|a|·|b|,但对于向量a,b,却有|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当a∥b时等号成立.这是因为|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|,而|cos θ|≤1. 3.实数运算满足消去律:若bc=ca,c≠0,则b=a.在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),则向量c,b在向量a方向上的投影相同,而不能由a·b=a·c(a≠0)得到b=c. 4.实数运算满足乘法结合律,但向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线. 继续学习 考点三　平面向量数量积的坐标表示 返回目录 【通关秘籍】 由a·b0能推出θ是锐角吗?由a·b0能推出θ是钝角吗? 当a·b0时,cos θ0,则θ是锐角或θ=0°(此时cos θ=1). 当a·b0时,cos θ0,则θ是钝角或θ=180°(此时cos θ=-1). 继续学习 考点四　 平面向量应用举例 1.向量在平面几何中的应用 基于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、平行、垂直等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来. 2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理中的力、速度、位移都是向量,所以它们的分解与合成可以用向量的加法或减法来解决. (2)物理中的功W是一个标量,它是力F与位移s的数量积,即W=F·s=|F||s|cos θ. 返回目录 【通关秘籍】 用向量法解决平面几何问题,一般来说