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1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图
1.了解中心投影和平行投影.
2.能画出简单空间几何体(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图.
3.能识别三视图所表示的立体图型.
1
2
1.投影
1
2
归纳总结当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行投影具有下述性质:
(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段.
(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线.
(3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等长.
(4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.
1
2
【做一做1-1】 已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在的平面平行,则经过中心投影后所得的三角形与△ABC ( )
A.全等 B.相似
C.不相似 D.以上都不正确
答案:B
1
2
【做一做1-2】 一条直线在平面上的平行投影是( )
A.直线 B.点
C.线段 D.直线或点
解析:当投影线与直线平行时,投影是一个点;否则,就是一条直线.
答案:D
1
2
1
2
【做一做2】 下列说法错误的是( )
A.正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度
B.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度
C.侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度
D.一个几何体的正视图和俯视图高度一样,正视图和侧视图长度一样,侧视图和俯视图宽度一样
答案:D
1
2
1.辨析平行投影和中心投影
剖析:平行投影和中心投影都是投影,但二者又有区别:
(1)中心投影的投影线交于一点,平行投影的投影线互相平行.
(2)在平行投影中,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.
(3)画实际效果图一般用中心投影法;画立体几何中的图形一般用平行投影法.
1
2
2.旋转体的三视图
剖析:旋转体是由某个平面图形绕着旋转轴旋转形成的,显然它是关于旋转轴对称的一类几何体.
当旋转体的底面水平放置时(除球外),它的三视图比较简单,这时常见的三视图分别为:
(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是圆;
(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆心;
(3)圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形,俯视图是两个同心圆.
1
2
球的正视图、侧视图和俯视图都是圆.
显然,它们有共同的特征:①俯视图中肯定存在一个圆,还可能存在另外的圆或者点,但是不会出现其他的图形,因为它们是绕着轴旋转形成的.②它们的正视图和侧视图是相同的,都是这个几何体的轴截面.因为球比较特殊,它的轴截面也是圆,所以使得它的三个视图是完全相同的.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,C1D1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的 .(只填图号)
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影,只需画出四个顶点A,G,F,E在每个面上的投影,再顺次连接这些点即得在该面上的投影,并且在两个平行平面上的投影是全等的.可得在平面ABCD上的投影是图①,在平面A1B1C1D1上的投影与图①全等;在平面ADD1A1上的投影是图②,在平面BCC1B1上的投影与图②全等;在平面DCC1D1上的投影是图③,在平面ABB1A1上的投影与图③全等.
答案:①②③
题型一
题型二
题型三
题型四
反思画出一个图形在一个平面上的投影的关键是找准图形中的关键点,如顶点等.先画出这些关键点的投影,再依次连接这些点即可得此图形在该平面上的投影.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】
在正方体ABCD -ABCD中,E,F分别是AA,CC的中点,则下列结论正确的是 .(只填序号)
①四边形BFDE在底面ABCD内的正投影是正方形;
②四边形BFDE在侧面ADDA内的正投影是菱形;
③四边形BFDE在侧面ADDA内的正投影与在侧面ABBA内的正投影是全等的平行四边形.
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:①四边形BFD‘E的四个顶点在底面ABCD内的正投影分别是B,C,D,A,即正投影是正方形,故①正确;②设正方体的棱长为2,由AE=1,取D’D的中点G,连接AG,则四边形BFD‘E在侧面A’D‘DA内的正投影是四边形AGD’E,由AE D‘G,所以四边形AGD’E是平行四边形,但AE=1,D‘E= 所以四边形AGDE不是菱形,故②不正确;对于③,由②知四边形BFDE在侧面ADDA和侧面ABBA内的正投影是两个边长分别相等的平行四边形,从而③正确.
答案:①③
题型一
题
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