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第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1.了解任意角的概念,能区分各类角.
2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.
3.理解终边相同的角的含义及其表示,并能解决有关问题.
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1.角
(1)定义:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角,射线的端点叫做角的顶点,起始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边.如图.
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(2)分类:如下表.
(3)记法:为了简单起见,在不引起混淆的前提下,可用一个希腊字母表示,如α,β,γ,…;也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”),其中中间字母表示角的顶点,如∠AOB,∠DEF,….
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名师点拨1.确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量.
2.零角的始边和终边重合,但始边和终边重合的角不一定是零角,如周角等.
3.角的范围由0°~360°推广到任意角后,角的加减运算类似于实数的加减运算.
4.画图表示角时,应注意箭头的方向不可丢掉,箭头方向代表角的正负.
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【做一做1】 将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角的大小为( )
A.120° B.-120°
C.60° D.240°
答案:A
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2.象限角
使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角,即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内,不与坐标轴重合.
如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
【做一做2】 -30°是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案:D
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3.终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
(2)终边相同的角的集合:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
名师点拨理解集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},要注意以下几点:
(1)式中角α为任意角;
(2)k∈Z这一条件必不可少;
(3)k·360°与α之间是“+”,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),即与-30°角终边相同;
(4)当α与β的终边相同时,α-β=k·360°(k∈Z).反之亦然.
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【做一做3-1】 下列与95°角终边相同的角是( )
A.-5° B.85°
C.395° D.-265°
答案:D
【做一做3-2】 与210°角的终边相同的角连同210°角在内组成的角的集合是 .
答案:{β|β=210°+k·360°,k∈Z}
1.象限角与终边在坐标轴上的角的集合表示
剖析:(1)象限角:
(2)终边在坐标轴上的角:
2.角α,β的终边相同,α与β不一定相等
剖析:若角α,β的终边相同,则它们的关系为:将角α终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得β,所以α,β的数量关系为β=k·360°+α(k∈Z),即α,β的大小相差360°的k倍,所以α与β不一定相等.
3.锐角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限的角的区别
剖析:受初中所学角的影响,往往在解决问题时,考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角上.将角扩展到任意角后,可用集合的观点来区别上述各类角.
锐角的集合可表示为{α|0°α90°};
0°~90°的角的集合可表示为{α|0°≤α90°};
小于90°的角的集合可表示为{α|α90°},其中包括锐角和零角以及所有的负角;
第一象限的角的集合可表示为{α|k·360°αk·360°+90°,k∈Z},其中有正角,也有负角.
名师点拨要正确区分易混的概念,如锐角一定是第一象限的角,而第一象限的角不全是锐角,如-350°,730°都是第一象限角,但它们都不是锐角.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例1】 在0°~360°之间,求出一个与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:
(1)908°28; (2)-734°.
解:(1)908°28=188°28+2×360°,则188°28即为所求角.因为188°28是第三象限角,所以908°28也是第三象限角;
(2)-734°=346°-3×360°,则346°即为所求角.因为346°是第四象限角,所以-734°也是第四象限角.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 -330°是第 象限角;1 065°是第 象限角.
解析:∵-330°=-360°+30°,30°是第一象限角,
∴-330°是第
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