2018版高中数学人教A必修4课件：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义.ppt

2.4　平面向量的数量积 2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及其运算律,并能运用这些性质与运算律解决有关问题. 1 2 3 1.平面向量的数量积 1 2 3 名师点拨1.两个向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时). 2.向量b在a上的投影不是向量而是数量,如图,即为|b|cos θ,它的符号取决于θ角的范围. 3.a·b也等于|b|与a在b的方向上的投影的乘积.其中a在b的方向上的投影与b在a的方向上的投影是不同的. 1 2 3 【做一做1-2】 |a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的投影等于(　　) A.2 B.120° C.-1 D.由向量b的长度确定 解析:|a|cos 120°=2cos 120°=-1. 答案:C 1 2 3 2.运算律 名师点拨1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c a=c. 2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc);但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)一般不成立. 1 2 3 【做一做2】 有下列各式: ①(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);②a·b=|a|·|b|; ③(a+b)·c=a·c+b·c;④(a·b)c=a(b·c). 其中正确的个数为(　　) A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.1 解析:①③正确. 答案:C 1 2 3 3.向量数量积的性质 设a,b为两个非零向量,a与b的夹角为θ. 1 2 3 归纳总结1.(a+b)2=a2+2a·b+b2; 2.(a-b)2=a2-2a·b+b2; 3.a2-b2=(a-b)·(a+b). 1 2 3 向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别和联系 剖析:从运算的定义、表示方法、性质和几何意义上来分析对比. (1)从定义上看,两个向量数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数;两个实数的积是一个实数. (2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写法我们就非常熟悉了. (3)从运算的性质上看,在向量的数量积中,若a·b=0,则a=0或b=0或a⊥b;在向量的数乘中,若λa=0,则λ=0或a=0;在实数的乘法中,若ab=0,则a=0或b=0. 在向量的数量积中,a·b=b·c⇒b=0或a=c或b⊥(a-c);在向量的数乘中,λa=λb(λ∈R)⇒a=b或λ=0;在实数的乘法中,ab=bc⇒a=c或b=0. 在向量的数量积中,一般(a·b)c≠a(b·c);在向量的数乘中,(λm)a=λ(ma)(λ∈R,m∈R);在实数的乘法中,有(ab)c=a(bc). (4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积;在向量的数乘中,λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a,b到原点的距离的积. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的值为　　　　　.  解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos 120°+16=-8. 答案:-8 反思已知向量a与b的夹角为θ,且|a|=m,|b|=n,求(xa+yb)·(sa+tb),其中x,y,s,t,m,n∈R,且m0,n0,其步骤是:(1)先求a·b;(2)化简(x a+y b)·(s a+t b)=xs|a|2+(xt+ys)a·b+yt|b|2;(3)将a·b,|a|,|b|代入即可. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的值为　　　　　.  解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos 120°+16=-8. 答案