能力培养(平行四边形)答案.doc

P33.3 如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠B=∠DCF， 在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠BAE=∠CDF． P34. 4在平行四边形ABCD中，将ABC沿AC对折，使点B落在B′处，A?B′和CD相交于点O．求证：OA=OC 证明：AB′C是由ABC沿AC对折得到的图形，BAC=∠B′AC，在平行四边形ABCD中，ABCD，BAC=∠DCA，DCA=∠B′AC，OA=OC．如图1，ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE、CD为邻边作?CDFE，过点C作CGAB交EF于点G．连接BG、DE．ACB与GCD有怎样的数量关系？请说明理由．求证：BCG≌△DCE （2）如图2，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边ABE．已知BAC=30°，EFAB，垂足为F，连接DF．试说明AC=EF；求证：四边形ADFE是平行四边形 解答：证明：（1）ACB=∠GCD．理由：AB=AC，ABC=∠ACB，CG∥AB，ABC=∠GCD，ACB=∠GCD；四边形CDFE是平行四边形，CEG=∠ACB，CGE=∠GCD，CEG=∠CGE，CE=CG，ACB+∠ECG=∠ECG+∠GCD，即BCG=∠ECD，在BCG和DCE中，BC＝DCBCG＝，BCG≌△DCE（SAS）；（2）Rt△ABC中，BAC=30°，AB=2BC，又ABE是等边三角形，EFAB，AEF=30°∴AE=2AF，且AB=2AF，AF=CB，而ACB=∠AFE=90°，在RtAFE和RtBCA中，，AFE≌△BCA（HL），AC=EF；由知道AC=EF，而ACD是等边三角形，DAC=60°∴EF=AC=AD，且ADAB，而EFAB，EF∥AD，四边形ADFE是平行四边形．如图，ABC是直角三角形，且ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：（1）DF=AE；（2）DFAC． 解析：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到EOD=90°，即DFAC． 证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．四边形BCDE是平行四边形，ED∥BC，ED=BC．点E是AC的中点，ABC=90°，AG=BG，DGAB．AD=BD，BAD=∠ABD．BD平分ABC，ABD=∠BAD=45°，即BDE=∠ADE=45°．又BF=BC，BF=DE．在AED与DFB中，，AED≌△DFB（SAS），AE=DF，即DF=AE；（2）设AC与FD交于点O．由（1）知，AED≌△DFB，AED=∠DFB，DEO=∠DFG．DFG+∠FDG=90°，DO+∠EDO=90°，EOD=90°，即DFAC．（2015连云港）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E． （1）求证；EDB=∠EBD； （2）判断AF与DB是否平行，并说明理由． 解：（1）由折叠可知：CDB=∠EDB， 四边形ABCD是平行四边形， DC∥AB， CDB=∠EBD， EDB=∠EBD； C=AB， DF=AB， AE=EF， EAF=∠EFA， 在BED中，EDB+∠EBD+∠DEB=180°， 2∠E （2）AFDB； EDB=∠EBD， DE=BE， 由折叠可知：DC=DF， 四边形ABCD是平行四边形， D+∠DEB=180°， 同理，在AEF中，2EFA+∠AEF=180°， DEB=∠AEF， EDB=∠EFA， AF∥DB．已知：如图， O 为 □ABCD 的对角线 AC 的中点，过点 O 作一条直线分别与 AB 、 CD 交于点 M 、 N ，点 E 、 F 在直线 MN 上，且 OE ＝ OF ．(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；(2)求证： MAE ＝ NCF ． ：(1)有4对全等三角形．分别为 AOM ≌△ CON ， AOE ≌△ COF ， AME ≌△ CNF ， ABC ≌△ CDA ．(2)证明： OA ＝ OC ，1＝2， OE ＝ OF ， OAE ≌△ OCF ． EAO ＝ FCO ．又在 □ABCD 中， AB CD ， BAO ＝ DCO ． EAM ＝ NCF P36-7如图，在RtAB