解三角形题中的边与的转化策略.doc

解三角形题中的边与角的转化策略 舒云水 解答一些解三角形的题目，常常需要运用正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理等知识，将已知条件中的边的关系转化为角的三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式，下面谈谈解三角形题中的边与角转化的常见策略﹒ 一、 将角的正（余）弦关系式转化为边的关系式 例1 在⊿中，角、、所对的边分别为、、，已知，，﹒求的值﹒ 分析：运用正弦定理将三个角的正弦关系“”转化为三条边的关系“”，联立“”与“”，解方程组即可求出、﹒ 解：由题设并利用正弦定理，得 ，解得，或﹒ 点拨：运用正弦定理将角关系“”转化为边关系“”是解本题的关键﹒ 例2 在△ABC中，、、分别为内角、、的对边，且﹒求A的大小﹒ 分析：本题已知条件“”是一个边角混合等式，对于这种等式，一般有两种转化思路可考虑：一是将边转化为角；二是将角转化为边﹒本题若将边转化为角，即将已知等式转化为“”，再化简求A比较困难﹒而将角化成边“”，化简得：，再利用余弦定理很容易求出A﹒ 解：由已知，根据正弦定理得 ，即． 由余弦定理得：﹒ 故﹒ 点拨：运用正弦定理，将已知的边角混合关系式转化为只含边的关系式是解决本题的切入点、突破口﹒ 二、将边的关系式转化为角的三角函数关系式 解答有关解三角形的问题，有时需要运用正（余）弦定理，将已知条件中边的关系转化为角的三角函数关系式 例3 设的内角、、所对的边长分别为、、，且．求的值﹒ 分析：根据本题要求的结论，本题应将已知条件的边角混合关系式“”中的边、、转化为、、 ，再根据，进一步化简即可求出﹒ 解：根据以及正弦定理，可得 ， ﹒ 因此，有 ， ﹒ 点拨：运用正弦定理将已知的边角混合关系式转化为只含角的关系式是解决本题的关键﹒ 例4 设的内角、、所对的边长分别为、、，且，．求边长﹒ 分析：本题是一道求边长的题目，先将两个已知等式“”和“”整合，即将两个等式左、右两边分别相除，再用正弦定理将转化为，化简求出，再进一步求出、﹒ 解：将 、两式相除，有 ， 又通过知：， 则， ． 点拨：解本题有两个关键点：1.将两个已知条件等式整合，相除；2.运用正弦定理将转化． 前面分别谈了将角转化为边与将边转化为角两种思路．事实上，一些题目用两种转化方法都可以求解，有时还要综合运用上面两种转化方法，下面举一例说明． 例5 在中，内角、、的对边分别为、、,已知，求的值． 思路1：将边转化为角．运用正弦定理将转化为． 解法1：在，由及正弦定理可得 ， 即， 则， ，而， 则，即． 思路2：将角转化为边．直接运用余弦定理将、、转化为边，得到边的关系式，再运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，即可求出的值． 解法2：在，由可得 ． 由余弦定理可得 ． 整理可得，由正弦定理可得． 三、三角形三个内角之间的转化 根据三角形内角和定理及已知条件，用已知角来表示待求角，也是解三角形问题中常用的转化策略． 例6在中，、、的对边分别是、、，已知. （1）求的值； (2)若，求的值． 分析：题目所给已知条件关系式是边、角混合式，（1）小题若运用余弦定理化角为边，求解较难．适宜运用正弦定理化边为角，得到关系式：，再根据三角形内角和定理将转化为，便可容易求出．（1）小题已求出，为已知角，为待求角，关键是要运用三角形内角和定理将转化为，化简得=，再根据平方关系，便可求出． 解：（1）由 及正弦定理得 ， 所以． （2）． 由得 ，展开易得 =． 又， 所以． 化简整理得 ， ， ． 点拨：注意角之间的转化，将转化为，转化为是成功解答本题的关键． 练习：1. 中，角、、所对的边分别为、、．若，则 ． 2. 中，角、、所对的边分别为、、，， ．求． 3.△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，asinAsinB+bcos2A=a，求． 答案：1.；2.；3. ．