2001高等数学试题.doc

2001-2002 一 高等数学期 A B 40 40 20 （一）、填空题：（每小题4分，直接填答案，不写过程） （1）（ ）。 （2）=（ ）。 （3）( ）。 （4设，则（ ）。 （5）曲线在区间（ ）上是凸的（即向下凹的）。 （6）曲线在坐标平面上的投影曲线方程为（ ）。 （7）若广义积分是收敛的，则常数应满足（ ）。 （8）直线与直线的夹角为（ ）。 （9）用定积分表示（不计算）：由曲线与直线，所围成的平面图形 绕轴旋转一周生成的旋转体的体积=（ ）。 （10）设在处连续，则常数为（ ）。 （二）、计算题（每小题5分，请写出必要解题步骤） 求 。 求 。 设，求，。 （4）求 。 （5）计算。 （6）求 （7）求曲线的切线方程，使其过坐标原点。 . （8）求过点，且与两平面及都平行的直线方程。 （10）．确定的单调区间. （9）.求由曲线xy=1及直线y=x,y=2所围成图形的面积。 . 计算 提示：令 （10）设函数为可导的偶函数，且，求。 30．计算 33．计算 34．计算 36．计算 （三）、应用和证明题（前两小题每题7分，最后一小题6分） 1一圆柱形的儲水桶，高为10米，底圆半径为6米，桶内盛满了水。试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？ 2．．边长为a(a0)米的正方形铁皮各角剪去同样大小的小方块，做成无盖的长方体盒子，问怎样剪法才使盒子的容积最大？ 3.．将直角边分别为及直角三角形薄板垂直地浸 入水中，斜边朝下，直角边的长边与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的长，求薄板所受的侧压力。 4.．有一圆台形水池，高为1m，上下底半径分别为2m和1m，其中盛满了水，现将水全部抽出，问需作功多少？ 5.．半径为5米，深为2米的圆锥形（锥顶朝下）的蓄水池蓄满水，今将这一池水全部抽至距池面5米高的水塔内，问需做多少功？ 6.．宽为a（米），高为h（米）的一矩形闸门，铅直竖立水中，它的顶与水面平行，且距水面b（米）.求闸门一侧所受的水压力. 2.设半径为的球沉入水中，水面与球面相切，若球的比重与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？ （2）在已知球体内作一个圆柱体，问如何确定圆柱体的底面半径和高，使得圆柱体的体积最大，并求此最大体积。（球的半径为） 证明:当x≠0时，有不等式 证明:对于一切实数x,有不等式 3.证明:当x0时， （4）设，，且连续，求，，进而证明：=。