2009年二轮复习高中数学方法讲解：数形结合方法.doc

2009年二轮复习高中数学方法讲解：数形结合方法 河北省井陉一中 梁彦庭 特别说明： 《2009年二轮复习高中数学方法讲解》是由梁彦庭老师参考诸多教学资料，结合自己的多年高三及补习班教学实践及多年写稿经验，在教学之余编辑而成． 旨在专项突破。 梁彦庭老师在数学教学科研上也只仅仅是迈了一小步，恳请各位老师和同学们在交流使用中向我提出您的宝贵意见！谢谢！ 四十八、数形结合方法 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 例1. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。 y 4 y=1-m 1 O 2 3 x 【巧解】 原方程变形为 即： 设曲线y＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。由图可知： ① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m4时，有唯一解，即－3m≤0, ∴ m＝1或－3m≤0 此题也可设曲线y＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y＝m后画出图像求解。 【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。 y A D O B x C 例2. 设|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值。 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。 【巧解】 如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示。 由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得： y A D O x cos∠AOD＝＝ ∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ 【另解】设z＝、＝，如图所示。则||＝，且 cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±， 所以＝(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。 【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z＝5(cosθ＋ｉsinθ)，z＝＋ｉsinθ)，则|z－|＝|(5cosθ－2cosθ)＋(5sinθ＋2sinθ)ｉ|＝ ＝，所以cos(θ＋θ)＝,sin(θ＋θ)＝±， ＝＝[cos(θ＋θ)＋ｉsin(θ＋θ)]＝(±ｉ)＝2±ｉ。 本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z－|＝得： （z－）(－z)＝z＋z－zz－＝25＋4－zz－＝13, 所以zz＋＝16,再同除以z得＋＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。 几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。 例3. 直线L的方程为：x＝－ (p0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？ 【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时