计算机辅助设计技术基础教程 第2章 二维图形变换(26P).ppt

第2章 二维图形变换 2.1 二维几何变换 2.2 二维坐标变换 * 二维图形输出流水线 二维变换 二维裁剪 规范化变换/ 窗口-视区变换 工作站变换 观察变换 图形显示 计算机图形系统的基础是模拟物体在空间中的操作能力。这种被模拟的物体空间操作就是变换。 一个场景中有几个物体，而每个物体都在自己的坐标中定义。当把这些物体放在某一坐标系下的共同场景中描述时，需要进行变换。 此外，在生成三维物体的二维图像时，也需要变换。 有两种互补的观点来描述变换：几何变换和坐标变换。例如描述汽车相对于一个场景背景的运动。 2.1 二维几何变换 对于平面中的一个二维直角坐标系，一个物体Obj可以看成是一个点集（如图所示）。每个物体点有一个坐标(x,y)，因此该物体是它的所有坐标点的总和。当它从一个位置移动到新的位置时，可以将它看成是一个新的物体Obj’。 x y ? P(x,y) Obj O 本节介绍三种基本的二维变换：平移、旋转与比例变换。 2.1.1 基本变换 1. 平移变换（只改变图形位置，不改变图形的大小和形状） x y ? P Obj ? P’ Obj’ 令 T＝[tx , ty ]， tx ——沿x方向平移量 ty ——沿y方向平移量 x’＝x＋tx y’＝y＋ty (x’, y’)＝(x, y)＋(tx ，ty) 矩阵表示：P’＝P＋T T 2. 绕原点的旋转变换 ? ? （x,y) (x’,y’) 在旋转中，物体绕原点旋转了 角。 约定：逆时针旋转时角度为正；顺时针旋转时角度为负。 矩阵表示：P’＝P ·R x y O 另一种表示： 3. 相对坐标原点的比例变换 比例变换改变物体的大小。应用比例因子sx（正数）和sy （正数）乘以多边形的各顶点坐标(x,y)可得到变换后的坐标(x’,y’)： 矩阵表示：P’＝P ·S 2.1. 2 几何变换的齐次坐标矩阵表示 为给出基本变换统一的矩阵描述，现介绍齐次坐标的概念及应用。 所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。 设（x1,x2,x3,…,xn）是一个n维空间的向量，则它的齐次坐标为（ h · x1, h · x2, h · x3,…, h · xn, h ），其中h是一个不为零的比例因子。这表明 ，n维空间向量的齐次坐标不是惟一的。 特别地，当h=1时，称n+1维空间向量（x1,x2,x3,…,xn,h）为n维向量（x1,x2,x3,…,xn）的规范齐次坐标。显然，n维向量的规范齐次坐标是惟一的。 利用齐次坐标表示法,我们可以给出基本变换的矩阵表示: 1. 平移变换 设P’和P依次表示(x’,y’)和(x,y)的规范化齐次坐标。 矩阵表示： 2. 旋转变换 矩阵表示： 3. 比例变换 以上讨论表明，基本几何变换具有统一的变换矩阵格式。这使我们能够方便地将它们结合在一起进行组合变换，且便于计算。 矩阵表示： 从变换功能上T2D可分为四个子矩阵，其中： 对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换； 对图形进行投影变换；（i) 对整体图形做缩放变换。 一般地，二维图形几何变换的齐次坐标矩阵表示为： (c f) 对图形进行平移变换； 除影响投影效果的元素外即当g=h=0时，变换矩阵具有以下性质： 变换前图形上的每一点，在变换后的图形上都有一确定的对应点，如原来直线上的中点变换为新直线的中点。 平行直线变换后仍保持平行，相交直线变换后仍相交。 ? 变换前直线上的线段比等于变换后对应的线段比。 利用齐次坐标表示法可以很方便地计算变换后的图形坐标位置。 其步骤如下： （1）变换前图形上任一点的齐次坐标的最后一个分量用1表示，即(x,y,1). （2）利用矩阵乘法求出变换后的图形，如矩阵相乘之后的结果为： （3）变换后点的实际坐标为： 例：全比例变换 i 1，图形放大； i 1，图形缩小. 变换后点的实际坐标为（x/i,y/i）. 2.1.3 组合变换 组合变换是将两个以上的基本变换组合在一个变换中，它可简化计算，提高变换效率。 平移变换 设对点P进行两次连续的平移变换,平移向量依次为(tx1,ty1)和(tx2,ty2),则最后变换到的位置P’为: 由于 所以 2. 旋转变换 点P经过两次连续旋转被变换到的位置为: 或 比例变换 点P经过两次连续比例变换后新的位置为: 或 例1. 求绕坐标原点以外的任意一点P(xp,yp)旋转的变换矩阵Tp。 求解步骤: （1）平移物体使旋转中心P与坐标原点重合;