数学物理方程前四章答案.doc

波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明满足方程 其中为杆的密度，为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 与。现在计算这段杆在时刻的相对伸长。在时刻这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 令，取极限得在点的相对伸长为。由虎克定律，张力等于 其中是在点的杨氏模量。 设杆的横截面面积为则作用在杆段两端的力分别为 于是得运动方程 利用微分中值定理，消去，再令得 若常量，则得