[研究生入学考试]电动力学课后习题解答.doc

课后习题解答 第一章、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3 第二章、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、20 第三章、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、42 第四章、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、63 第五章、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、81 第六章、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、94 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式： 解：矢量性为 ① ② ③微商性 ④ ⑤ 由②得 ⑥ ⑦ ⑥+⑦得 上式得 令得 2.设μ是空间坐标x，y，z的函数，证明： 解：① ② ③ 3.设为原点到场点的距离，的方向规定为从原点指向场点。 ⑴ 证明下列结果，并体会对原变数求微商 （） 与对场变数求微商 （ ） 的关系 （最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节） ⑵ 求及，其中及均为常矢量。 解：⑴ ⑵ ⑴ 应用高斯定理证明 ⑵ 应用斯托克斯（Stokes）定理证明 解：⑴ ⑵ 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 利用电荷守恒定律 证明的变化率为 解： 取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的，则 。 6. 若是常矢量，证明除R=0点以外矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。 解： 7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求 ⑴ 空间各点的电场； ⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。 解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由： 对空间Ⅱ：做高斯面，由 对空间Ⅲ: 做高斯面，由 ⑵ 由 时,由边值条件: (由1指向2) 8. 内外半径分别为 和 的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流 ，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。 解：⑴由 所以 所以 方向为 对区域Ⅱ 由 方向为 对区域Ⅲ有: 由 由 由 同理 由 得 9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。即： 解：由均匀介质有 ① ② ③ ④ 由①②得 两边求散度 由③④得 10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律） 解：令两个线圈中的电流分别为和。电流圈对另一个电流圈中的电流元的作用力为： ⑴ 其中 ⑵ 是电流圈在电流元处激发的磁感应强度，是从中的电流元到电流元的矢径。将⑵式代入⑴式，并对积分，利用斯托克斯定理,同时注意到,即得到电流圈对的作用力：