华农大09数学模型选修课期末作业题.doc

数学模型（2009秋）选修课期末考试 姓名： 专业： 年级： 学号： 得分： 时间： 数学建模 问题及答案 1、请举出两个或以上与菲波那契数列相关的问题。（10分） 答： 1，自然界中一些花朵的花瓣数目符合于Fibonacci数列。 2，如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个Fibonacci数列。 3，人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先的数目刚好就是Fibonacci数列的第n项Fn。 2、贷款就是向银行按一定利率实行有偿借款。贷款越多，时间越长，付给银行的利息就越多。在利率己知的情况下，如何选择适当的贷款额和贷款期限呢？这里有一对矛盾，就是多贷付给银行的利息多，从而增加了买房成本；而少贷又不能达到买房的目的，这就有一个如何权衡的问题。如果有一家庭，为了买房需要向银行贷款A元，己知利率按月计算，且为复利率，月利率为r，贷款期限为25年，问这个家庭每月平均要向银行还款多少?一共付给银行多少钱？如果25年后再开始还款，那时应还款多少？如果将贷款期限缩小到原来的1/5，其结果如何?这是一个简单的经济问题，用初等数学就可以建立模型。其中，贷款额A为本人学号数前六位数，月利率r为其后两位的座号数的千分数，例如，某位学生的学号为200630010614，则其贷款额A为200630，月利率r为14/1000=0.014。（35分） 答： 1，建模分析： 利用初等数学的有关知识，根据题意列出方程，然后化简得到公式，进一步代入实数得到具体的结果。 2， 模型建立： ①25年的期限 ⑴设经过多少个月后所要交的总的本息为S n 。 25年后才开始还时，因为以月利率的复式利率。 第一个月本息：S1 = A（1+r）； 第二个月本息：S2 = A（1+r）2； …… 第三百个月（25年）本息：S300 = A（1+r）300； 所以有S300 = A（1+r）300； ⑵设平均每月要向银行还款的数目M； 第一个月的余额：A（1+r）－M； 第二个月的余额：［A（1+r）－M ］（1+r）－M； …… 第三百个月（25年）余额为零： […[A（1+r）－M ］（1+r）－M ]（1+r）－M ] …]（1+r）－M ] = 0 最后，化简可得： M300 = A（1+r）300／[（1+r）299+（1+r）298……+（1+r）2+（1+r）+1] ②当年限变为1／5时，可由以上的推论得： ⑴ S60=A（1+r）60； ⑵ M60 = A（1+r）60／[（1+r）59+（1+r）58……+（1+r）2+（1+r）+1] ； 3，结果与结论 将具体的数个代入： A=200830； r = 0.025； ①25年的期限 ⑴S300 =86758 ⑵M300 = 4901.18812 ②当年限变为1／5时 ⑴S60 = 883608.62072 ⑵M60 =6293.90090 4，结果的分析 日　　　期 300个月 60个月 一次性还款数868 883608.621 每个月还款数 4901.188 6293.901 累计的钱款数 1470356.436 377634.054 一次性还款数－累计的钱款432 505974.567 因此，从以上的数据比较可得，按照复利率的计算的话： 1，时间越长，所要还的钱款的数目越多，且增长得越快； 2，分月还款的时间越短，每月还的钱款越多，但是当期限减到1／5时，每个月所还的钱款数并没有增加很多。 3、一个立方体如下图所示，其中a、b、c为三个棱长，且a b c 0，一只蜘蛛在A1出发现C处有一只苍蝇，问它要捉住苍蝇走哪条路线最短？ 答： 1，建模分析： 我们都知道，在两点之间走直线产生的路程最短。 但所给的图形是立方体，不能直接观地得到两点之间的距离，因此要将其转换为平面的，再求解。 2， 模型建立： ①把四边形ABCD和四边形ABB1A1绕线段A1B1翻转到xoy平面上，这样就能把点A1和点C变换到同一个平面上了。如下图： ②图中线段A1C的距离为最短的距离，即等于[a2+(b+c)2]1/2 ③把路径在立方体上表示出来：将xoy平面上AB线上的K点向A1B1投影，再向AB作投影，这一点K就为在立方体上的要作出的相交的部位。 ④计算得出K点的坐标：在三角形A1DC上，用相似三角形可得，AK的长度为a c／( b + c )。因此，可得K点的坐标为：（ b