15微积分的创立-数学史.ppt

微积分的创立 解析几何是代数与几何相结合的产物，它把变量引入数学，使得人们借助于数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，同时也为微积分的创立奠定了基础。微积分的创立是17世纪数学最重要的成就之一，也是科学技术发展史上最重大的事件之一。 牛顿称微积分为“流数术”，这个名称后来逐渐被淘汰。莱布尼茨使用了“差的计算”与“和的计算”。后来，“差的计算”变成专门的术语“微分学（calculus differentialis）”，而“和的计算”变成“积分学（calculus summatorius）”，两者合起来就是微积分（calculus）。 在中国，1859年5月10日，上海印刷发行了李善兰和伟烈亚历合译的《代微积拾级》。原书是罗密士的《解析几何与微积分基础》。译名的“代”指的是解析几何（原译名为代数几何，解析几何为日文译名），“微”指微分，“积”指积分。Cululus译作“微积”。李善兰序中说：“是书先代数，次微分，由易而难，若阶级之渐升。”故名“拾级”。这就是中国微积分名称的来源。把calculcus译成“微积分”，可能是依《数书记遗》“不辩积微之为量，讵晓百忆于大千”句，取“积微成著”之义，译名反映了李善兰对概念的科学内容的深刻理解，并表现了汉学的高深造诣。 微积分产生的背景 事实上，“无限细分，无限求和”的微积分思想，在古代的西方和中国早就已经开始萌芽。 两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力，因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子；那时也已经出现了水轮机，利用流水的冲力推动水轮转动，水轮又经过齿轮的作用带动碾磨。为了精密地制造这些工件，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分、无限求和”的微积分思想的萌芽。 微积分产生的背景 古希腊科学家阿基米德在解决许多实际问题的同时，研究了圆的周长和面积的计算问题，他利用圆的内接正多边形和外切正多边形来推算，边数越多，圆和多边形就越接近。从圆心到多边形顶点的半径把多边形分成一个个三角形。也同时把圆分成一个个扇形。多边形的边数越多，三角形就越接近扇形，三角形的底边（即多边形的一条边）便近似于扇形的圆弧；三角形的面积便近似于扇形的面积；各个三角形底边之和便近似于圆的周长；各个三角形面积之和就近似于圆的面积，而且随着边数的增多，这种近似就变得越来越精确。 微积分产生的背景 阿基米德从最简单的六边形一直做到96边形，得出圆周长和圆的直径的比值（圆周率π）是3(10/71)与3(1/7)之间的数。在这个计算工作中，已包含了“无限细分，无限求和”的微积分思想，多边形不断增多边数，这就是对于圆周“无限细分”，由许多三角形的总和来求圆周长及圆面积，这就是“无限求和”。 微积分产生的背景 我国古代，也早就有了微积分思想的萌芽。 西汉刘歆在《西京杂记》中提到的“记里车”，东汉张衡制造的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进的“木牛流马”，都要设计制造圆形的物件，从而产生了魏晋时刘徽提出的“割圆术”。 他从圆内接正六边形做起，令边数成倍的增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，……直到正3072边形，用这个正3076边形面积来逼近圆面积，就得到π的较精确值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”是思想方法。 微积分产生的背景 到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。开普勒根据长期的天文观测资料，总结出行星运动的三大定律；伽利略发现了自由落体的运动规律，这个规律可表示成著名的公式S=1/2gt2； 微积分产生的背景 笛卡儿关于几何学的工作及费马对极值问题的研究，特别是他们关于解析几何的工作，开始有了变数概念，并把描述运动的函数关系和几何中曲线问题的研究统一起来了。 微积分产生的背景 问题1：求自由落体在下落后1秒钟这个时刻的瞬时速度？ 问题2：求一个曲边三角形的面积。 这两个问题在形式上虽然很不相同，但解决这些问题的基本思想却是一样的。前者属于微分学问题，后者属于积分学问题。用微积分解决问题的基本思想是先在局部“以不变代变”或“以直代曲”，求得所求量的近似值，然后在无限变化的过程中实现近似转化为精确。 先驱们的探索 17世纪以前，人类关于数学的知识基本上还停留在初等数学的水平上，即常量数学的阶段。从17世纪中叶到18世纪末，欧洲工业革命的兴起，广泛地采用了机器，为了设计和制造机器，就需要掌握机械运动的规律；水运的改进要求了解物体在液体中的运动规律；船只稳定性的研究促进了质点力学的发展；为了适应对外扩张和争霸的需要，战争中广泛使用枪炮，这就要研究抛射体的运动，所有这些生产和技术中出现的问题迫切要求力学、天文学等基础