2011-10-21-第2讲-约数、倍数、完全平方数、质数、合数、分解质因数(数论综合).pptxVIP

第1讲专题四：约数、倍数、完全平方数专题五：质数、合数、分解质因数数论综合授课时间：2011年10月16日 周日电话：400-810-2680专题四 约数 倍数 完全平方数一 、专题知识点概述最大公约数与最小公倍数的常用性质(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。即若那么 如右图应用：两个数A，B，可以设两个数分别为A=Ma,B=Mb,其中M是两个数的最大公约数，a,b分别成为A，B的“独有因数”，同时两数的最小公倍数可以表示为Mab，灵活应用到题目中(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即专题四 约数 倍数 完全平方数一 、专题知识点概述最大公约数与最小公倍数的常用性质(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如： ，210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如： ，而6,7,8的最小公倍数为 专题四 约数 倍数 完全平方数一 、专题知识点概述约数个数与所有约数的和(1)求任一整数约数的个数：一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积如:1400严格分解质因数之后为 ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)专题四 约数 倍数 完全平方数一 、专题知识点概述约数个数与所有约数的和(2)求任一整数的所有约数的和：一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如： ，所以21000所有约数的和为专题四 约数 倍数 完全平方数一 、专题知识点概述完全平方数常用性质1.主要性质:完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。若质数p整除完全平方数 ，则p能被 整除。专题四 约数 倍数 完全平方数一 、专题知识点概述完全平方数常用性质2.一些推论:任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1. 即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64， 84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数； 末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数； 个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾平方差公式专题四 约数 倍数 完全平方数二 、重点难点解析1．最大公约数与最小公倍数的概念和常用性质2．由数字分解质因数的角度构造原数的方法和思想3．代数方法的应用4．完全平方数的性质和平方差公式三 、竞赛考点挖掘1．约数个数计算公式的正向和反向应用2．最大公约数和最小公倍数与原数字的关系3．约数倍数知识点与其他知识点的结合4．完全平方数的性质专题四 约数 倍数 完全平方数四 、习题讲解【例1】（难度等级 ※※）数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360所有约数的和为1170．专题四 约数 倍数 完全平方数四 、习题讲解【例2】（难度等级 ※※）甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数