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线性摄像机成像模型 摄像机矩阵元素的几何意义 光心： 世界坐标系的坐标原点：其图像点为p4 世界坐标系的坐标轴方向的消失点：p1，p2，p3 摄像机矩阵元素的几何意义 射影几何学简介 主要内容 叉积(×) 交比、调和共轭 射影变换 二次曲线及其对偶 对极关系 圆环点 绝对二次曲线 为什么要学习射影几何？ 照相机的成像过程是一个(退化的)射影变换(透视或中心射影)的过程： 射影空间 对 n 维欧氏空间加入无穷远元素, 并对有限元素和无穷远元素不加区分, 则它们共同构成了 n 维射影空间. 叉积（×） 两点、两线的叉积 共线点的交比（Cross-ratio） 直线坐标系： 射影变换 记 是两个由点组成的射影空间, 是由 到 的映射. 如果 保持: (i) 点和直线的结合关系. 比如: 点在直线上; 直线通过点; 等等. (ii) 共线的四个点的交比. 则 被叫作 n 维射影变换. 点用齐次坐标表示, 则射影变换可用一个 (n+1)×(n+1) 的矩阵表示: 的行列式非零, 则它是一个非退化的射影变换, 否则是个退化的射影变换. 例如: ， 是两条射影直线, 让 与 对应, 其中 与 的连线都交于一点, 则这个映射是一个 1 维射影变换. (透视或中心射影) 照相机的成像过程是一个从3维空间到2维空间的退化的射影变换。 射影平面中的对偶 “点”与“直线”叫作射影平面上的对偶元素。 “过一点作一直线”与“在一直线上取一点” 在射影平面里设有点、直线及其相互结合和顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，其结果形成另一个命题，这两个命题叫作平面对偶命题。 对偶原则：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。 例如： 命题：通过不同两点必有一直线。 共线的四个点有交比, 根据对偶, 共点的四线也有交比. 二次曲线(Conic) 记射影平面上点的齐次坐标为 , 则满足一个二次方程, 即: 的所有点的集合构成一条由 决定的 二次曲线C, 其中至少有一个 非零. 在二次曲线的定义中的方程又可以写为: 矩阵 是对称的, 它的秩在一个非退化的射影变换下保持不变. 如果矩阵 的行列式非零, 则这个二次曲线非退化. 否则二次曲线退化为两条直线, 或一条直线. 例如: 圆, 椭圆, 双曲线和抛物线都是非退化的二次曲线. 切点、切线、配极对应 配极关系是射影不变的关系, 利用这个关系我们可以对照相机进行标定. 二次曲线的对偶： 射影平面上点与直线是对偶的，将二次曲线的点元素换为线元素，则这些线的包络为一个二次曲线。 非退化的二次曲线的对偶： 二次曲线 （ 为点坐标） 的对偶为： （ 为线坐标） 圆环点(the circular points) 绝对二次曲线(The Absolute Conic) 欧氏空间中, 无穷远平面上的二次曲线: 称为绝对二次曲线. 它都由虚点构成。 AC性质 无穷远直线交绝对二次曲线于两点，这两个点是通过该无穷远线的平面的圆环点。 绝对二次曲线是空间中所有平面的圆环点所构成的集合，因而任意一个圆与绝对二次曲线交于两个圆环点。 设绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表示为　，则它的任一点　的切线为　　　，反之　　　。配极对应也成立。 绝对二次曲线的像与照相机的内参数紧密相连. 假定照相机的内参数为: 则绝对二次曲线的像是: 反之, 如果绝对二次曲线的像已知, 则 K 可以被完全确定. 如果圆环点的像已知，也可以对照相机的内参数构成约束，通过解方程组来得到内参数的值。 假定 m 是圆环点的像，则： 三维射影几何 点、空间直线、平面 二次曲面 扭三次曲线：与三维重建中的退化情况紧密相连。 Point conic Line conic 平面上任何圆与无穷远直线的交点： 3点+2圆环点=5点确定一个圆 任意一个球与无穷远平面的交点： * *