6.5节变换群与几何学的关系.pptVIP

§ 6.5 变换群与几何学的关系 一、射影仿射平面 定义5.1 在拓广平面上, 指定一条直线作为无穷远直线, 记作l?, 并约定对于某取定的射影坐标系, l?的方程为x3=0. 称为实射影仿射平面, 并称指定的l?为该射影仿射平面上的绝对形. 显然, 射影仿射坐标变换的逆式必定形如 注1 据定义5.1, 实射影仿射平面上的射影坐标系必须总以l?为坐标三点形的边x3=0, 称为射影仿射坐标系. § 6.5 变换群与几何学的关系 其中, P(pi), Q(qi), R(ri)分别为新坐标三点形的顶点A1, A2, A3. § 6.5 变换群与几何学的关系 定义5.2 在射影仿射平面上, 保持无穷远直线不变的射影变换称为射影仿射变换. 定理5.1 射影变换 成为射影仿射变换?a31=a32=0. 显然, 射影仿射变换形如 § 6.5 变换群与几何学的关系 § 6.5 变换群与几何学的关系 将(3.3)式化为非齐次(前二式两边分别除以第三式), 得 注 射影仿射变换保持直线的平行性不变, 保持共线(通常)三点的单比不变. § 6.5 变换群与几何学的关系 二、群与变换群 定义5.3 (群)设G为非空集合. 在G上定义一个代数运算, 称为乘法. 如果满足下述4条公理, 则称G对于这个乘法构成一个群, 记作G. 注1 定义中的运算是称为乘法,未必是通常的乘法. 注2 群中的乘法不一定满足交换律. 若满足交换律, 可以将这种乘法称为加法, 这样的群称为交换群或加法群或Abel群. (1) 封闭性. ?a, b?G, 有ab?G. (2) 乘法满足结合律. 即?a, b, c?G, 有a(bc)=(ab)c. (3) 存在单位元. 即?e?G, 使得?a?G, 有be=ea=a. (4) 存在逆元. 即?a?G, ?a?1?G, 满足aa?1=a?1a=e. § 6.5 变换群与几何学的关系 定义5.4 (子群)设G为群, H为G的一个非空子集, 若H对于G上的乘法也构成群, 则称H为G的一个子群. 定理5.2 群G的一个非空子集H为G的子群?H满足下述条件. (1) ?a, b?H, 有ab?H. (2) 若a?H, 则必有a?1?H. § 6.5 变换群与几何学的关系 定义5.5 (群的同构)两个群G, G之间的一个能够保持乘法运算的双射称为G与G之间的一个同构. 如果群G与G之间存在一个同构映射, 则称G同构于G, 记作G?G. 定理5.3 非空集合S上全体一一变换的集合对于变换的乘法构成群. 称为集合S上的全变换群. § 6.5 变换群与几何学的关系 定理5.4 非空集合S上部分一一变换的集合G对于变换的乘法构成群(全变换群的子群)? (1) 若g1, g2?G, 则g1g2?G. (2) 若g?G, 则g–1?G. 定义5.6 集合S上全变换群的任一子群称为S上的一个变换群. § 6.5 变换群与几何学的关系 三、平面上的几个变换群 K={平面上全体射影变换} KA={平面上全体射影仿射变换} KM={平面上全体射影正交变换} A={平面上全体仿射变换} M={平面上全体正交变换} 射影平面 仿射平面 射影变换群K 射影仿射变换群KA 射影正交变换群KM 仿射变换群A 正交变换群M KS={平面上全体射影相似变换} 射影相似变换群KS S={平面上全体相似变换} 相似变换群S § 6.5 变换群与几何学的关系 上述7个变换群之间显然有下列关系： 在射影平面P上 在仿射平面PA上 § 6.5 变换群与几何学的关系 四、Klein变换群观点 定义5.7 设S为一个非空集合, G为S上的一个变换群. 称S为空间, S的元素称为点, S的子集称为图形, G称为空 间S的主变换群. 研究空间S中图形所决定的在G的每一 个元素的作用下保持不变的性质(不变性)和数量(不变量) 的科学称为一门几何学(S,G). § 6.5 变换群与几何学的关系 S的子集(图形)在G下被分成若干等价类, 属于同一等价类的图形具有相同的G性质(G给S赋予空间结构) 注 显然, 在S上给定不同的变换群G, 则得到不同的几何学. 几何学(S, G) § 6.5 变换群与几何学的关系 四、Klein变换群观点 定义5.8 如果(S,G)为一个几何学, H为G的子群. 则称几何学(S,H)为几何学(S,G)的一个绝对子几何学, 简称子几何学. H G S 几何学(S,G) 子几何学(S,H) § 6.5 变换群与几何学的