《数学史》几何学的变革(下).ppt

几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。 几何学发展 几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。 几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。 希尔伯特《数学问题》演讲 我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域？新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？…… 选择题与填空题 1．非欧几何的创立主要归功于数学家 高斯 、 波约、 罗巴切夫斯基 . 2．解析几何的发明归功于法国数学家 笛卡尔 和 费马 . 3.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中__第五公设___的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是___高斯___. 4．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：__相容性___、__独立性____、__完备性____. 作业 1.简述非欧几何的产生。 2.克莱茵的爱尔朗根纲领。 3.非欧几何三位发明人是谁？他们中哪位是最早、最系统地发表自己关于非欧几何的研究成果？ 并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，对几何思想的发展产生了持久的影响． 克莱因发表爱尔朗根纲领时年仅23岁．1886年，他受聘到哥廷根大学担任教授．克莱因是这样一位数学家，在他身上，创造天才与组织能力完美地融合在一起．他的到来，使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富科学魅力。 克莱因 在被引向哥廷根的许多年轻数学家中，最重要的一位是希尔伯特(D.Hilbert，1862—1943)． 正是这位希尔伯特，在来到哥廷根3年以后，提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学的途径——公理化方法． 公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家们重新审视《原本》中的公理体系时．却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重建欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何的基础． 这项探索从一开始就是在对几何学作统一处理的观点下进行的．在所有这些努力中，希尔伯特在《几何基础》(1899)中使用的公理化方法最为成功． 几何基础与希尔伯特 德国数学家大卫·希尔伯特（1862-1943）是20世纪最伟大的数学家之一． 他在1899年出版的《几何基础》成为近代公理化方法的代表作，且由此推动形成了“数学公理化学派” 。 公理化方法是从公理出发来建造各种几何．希尔伯特在这方面的划时代贡献在于，他比任何前人都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系．《几何基础》中提出的公理系统包括了20条公理，希尔伯特将它们划分为五组： Ⅰ. 1—8 关联公理； Ⅱ．1—4 顺序公理； Ⅲ．1—5 合同公理； Ⅳ． 平行公理； Ⅴ．1—2 连续公理． （重点） 在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即： 1．相容性．从系统的公理出发不能推出矛盾，故亦称“无矛盾性”； 2．独立性．系统的每一条公理都不能是其余公理的逻辑推论； 3．完备性．系统中所有的定理都可由该系统的公理推出． 在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何． 例如用罗巴切夫斯基平行公理替代欧几里得平行公理，而保持其余所有公理不变，就可以得到双曲几何； 如果在抛弃欧氏平行公理的同时，添加任意两条直线都有一个公共点或至少有一个公共点的公理，并适当改变另外一些公理，就分别得到单重与双重椭圆几何，等等． 这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学． 最有趣的例子便是“非阿基米德几何”，即通过忽略连续公理(亦称阿基米德公理)而建造的几何学．这是希尔伯特本人的创造，《几何基础》中用了整整5章的篇幅来展开这种新的几何学． 我们在后面会看到，希尔伯特所发展的这种形式公理化方法在20世纪已远远超出了几何学的范围而成为现代数