初等数论-同余.pptVIP

人们习惯称六十岁为“花甲”，称六十岁以上的老人为“花甲老人”、“花甲之年”。“花甲”是“花甲子”的简称，这一名称的来历和我国古代的干支纪年法密不可分。 干支，即天干、地支。天干本称“干”，地支本称“支”，是上古时代就已出现的一种计数、计时符号。 天干有十个，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。　　地支共十二个，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。　　十个天干和十二个地支（组合时单数配单数，双数配双数，如甲子、乙丑，而不能是甲丑、乙子）组合为六十对不重复的计数单位（成语“丁是丁，卯是卯”即源于此。因为“丁”和“卯”分别属于天干和地支，混误不了，所以这个成语的意思是办事认真，毫不含糊）。组合时，以十干为主，自“甲”开始，依次与十二地支相配合。到第十支时，十干已全部配完，那么再从第一干开始与第十一支相配，依次类推下去，共得六十组，称为“六十甲子”。六十年周而复始，所以六十岁是“花甲”之年。 据考证，公元前十三世纪的商代，我国就已经有用干支记日的记载，而用干支纪年，一般认为开始于东汉光武帝建武十三年（公元54年）。在此以前的干支，是后人加上的。干支纪年从东汉开始一直沿用至今。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第二章 同余 同余作为数论中最基本的概念，在数论中占有极为重要的地位。同余理论是初等数论的核心，它包含了数论特有的思想方法. §2. 1 同余的概念及基本性质 §2. 2 剩余类与剩余系 §2. 3 欧拉定理 * 问题：日常生活中最常见的同余问题是什么？ 我国古代的干支纪年也是这样的，它是以60作为除数的纪年法. 为什么称“六十花甲”？ 这样,在数学中就产生了同余的概念，同余概念是Gauss在1800年前后创立的. 日常生活中的星期几问题就是同余问题。例如今天6日是星期二，那么本月13日, 20日都是星期二，这是因为它们用7去除得到的余数相同。　 这说明有时我们注意的是某些整数用某一个固定的整数去除所得到的余数。 * §2. 1 同余的概念及基本性质 定义2. 1 若a 和b 除以m 所得余数不同，则称a，b 对模m 不同余，记作 a b (mod m). 设m为正整数，称为模。若用m去除两个整数 a 和 b 所得的余数相同，则称a 和b 对模 m 同余, 记作 a ≡b (mod m). （1） 读作a 同余于b 模m。 * 例如： 27、31、36、42、20，它们对模 5，哪些同余？哪些不同余？ 对于模 1，任意的两个整数同余吗？ 关于模 2 同余的整数有什么特点？ 同余是三个数 a 和 b 和 m 之间的关系，正整数 m（模）起着同余标准的作用。 * 由同余定义可知如下性质成立 由(1)，若a = b，则a ≡ b (mod m)；反之不然！ 同余是整数间的一种等价关系！ E (1) 反身性： a ≡ a (mod m). (2) 对称性：若 a ≡ b (mod m)， 则 b ≡ a (mod m). (3) 传递性：若 a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), 则 a ≡ c (mod m). * 定理2. 1. 1整数a 和b 对模 m 同余的充要条件是 m |(a－b) . 　　若 m|(a－b). 则 m|m (q1－q2) + (r1－r2 ), 因此m | (r1－ r2 ). 而 0≤r1m ，0≤r2m 故 0≤| r1－r2 |m, 所以只有r1－r2 ＝0，r1＝r2 , 即 a ≡ b (modm) . 证明：由带余除法，可设 　a＝mq1+r1,(0≤r1m), 　b＝mq2+r2 , (0≤r2m), 　　若 a ≡ b (modm) ，则r1＝r2 , 　∴ a－ b ＝m(q1－q2)，即m | (a－b)。 * 每一个整数 a 恰与0，1，2，…，m－1中的某一个数对于模 m 同余。 例 1 证: 由带余除法知, a = mq+ r , 0≤rm, 唯一确定, ∴ a－ r = mq , ∴m | (a－ r), 由定理 2. 1. 1，a 与 r 对 m 同余，0≤ r m, r 必为 0, 1, 2, …, m－1中的某一个数. 命题成立. 事实上于