初等数论-学生1.ppt

初等数论 大纲要求 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。 第一节同余 定义 数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。 最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。 性质 (1)若a≡0(mod m),则m|a; (2)a≡b(mod m)等价于m|(a-b) 1 反身性 a≡a (mod m) 2 对称性 若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m) 3 传递性 若a≡b (mod m)，b≡c (mod m)，则a≡c (mod m) 4 同余式相加 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d (mod m) 5 同余式相乘 若a≡b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd (mod m) 4 线性运算如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m),那么(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)，(2)a * c ≡ b * d (mod m) 5 除法若ac ≡ bc (mod m) c≠0 则 a≡ b (mod m/gcd(c,m)) 其中gcd(c,m)表示c,m的最大公约数 特殊地 ,gcd(c,m)=1 则a ≡ b (mod m) 6 幂运算如果a ≡ b (mod m)，那么a^n ≡ b^n (mod m) 7 若a ≡ b (mod m)，n|m,则 a ≡ b (mod n) 8 若a ≡ b (mod mi) (i=1,2...n) 则 a ≡ b (mod [m1,m2,...mn]) 其中[m1,m2,...mn]表示m1,m2,...mn的最小公倍数 余数定理：n=km+r(0≤r≤m-1) 一个整数n被正整数m除后，余数r有m种情形：0，1，2，3，…，m-1， 它们彼此对模m不同余。这表明，每个整数恰与这m个整数中某一个关于模m同余。 这样一来，按关于模m是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分成m个两两不相交的子集。 我们把（所有）对模m同余的整数构成的一个集合叫做模m的一个剩余类。 确切地说，若m是一个给定的正整数,则全体整数可以分成m个集，记作A0,A1,…Ai,...,Am-1,其中Ai是由一切形如km+i(k∈Z)的整数所组成的集。 剩余类的性质 ①每一个整数必包含在而且仅包含在上述一个集合里。②两个整数同在一个集合的充分必要条件是它们对模□同余。 例如. 模12的剩余类，为12个集合： {...,0,12,24,36,...} {...,1,13,25,37,...} {...,2,14,26,38,...} .... {...,11,23,35,47...} 完系 完系,是同余中的一个特殊情况.一般叫做模……的完系。（如：模m的完系） 模m的完系是指有m个互不相等的数，模m的余数分别不相等。则这m个数被叫做模m的完系。 在模n的剩余类中各取一个元素，则这n个数就构成了模n的一个完全剩余系。 完系的性质（1） 完系的性质（2） 完系的性质（3） 简系 如果一个模m的剩余类Kr中任一数与m互质,则称Kr是与模m互质的剩余类;在与模m互质的每个剩余类中任取一个数(共f(m)个)所组成的数组,称为模m的一个简化剩余系,简称简系。 简系是同余理论中的概念. 缩系也叫简系（简化剩余系）。 例如，模n的简化剩余系就是小于n且与n互素的整数的集合。 例1：模10的简化剩余系为1，3，7，9 。 例2：模30的简化剩余系为1，7，11，13，17，19，23，29 。 模n的简化剩余系中元素的个数为φ(n)（既欧拉函数） 简系的性质 【定理1】x1,x2,...,xφ(m)是模m的简系的充要条件是(x ,m)=1且x,xj不同余于m(i≠j,i,j=1,2,..., φ(m)). 【定理2】在模m的一个完系中,取出所有与m互质的数组成的数组就是一个模m的简系. 【定理3】若(a,m)=1,且x1,x2...,xφ(m)是模的简系,则模ax1,ax2,...,axφ(m)也是模m的简系. 费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理， 其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p） 验证推导 引理1．　　若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(