初等数论第一章6.pptVIP

初等数论 Number Theory 第一章 整除理论 整除性理论是初等数论的基础。本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。 第六节 算术基本定理 在本节中，我们要介绍整数与素数的一个重要关系，即任何大于1的正整数都可以表示成素数的乘积。 第六节 算术基本定理 引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即 n = p1p2?pm， (1) 其中pi（1 ? i ? m）是素数。 证明 当n = 2时，结论显然成立。 假设对于2 ? n ? k，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n = k ? 1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。 第六节 算术基本定理 如果k ? 1是素数，式(1)显然成立。 如果k ? 1是合数，则存在素数p与整数d，使得k ? 1 = pd。由于2 ? d ? k，由归纳假定知存在素数q1, q2, ?, ql，使得d = q1q2?ql，从而k ? 1 = pq1q2?ql。 证毕。 第六节 算术基本定理 定理1(算术基本定理) 任何大于1的整数n可以唯一地表示成 ， (2) 其中p1, p2, ?, pk是素数，p1 p2 ? pk，?1, ?2, ?, ?k是正整数。 证明 由引理1，任何大于1的整数n可以表示成式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯一性。 第六节 算术基本定理 假设pi（1 ? i ? k）与qj（1 ? j ? l）都是素数， p1 ? p2 ? ? ? pk，q1 ? q2 ? ? ? ql， (3) 并且 n = p1p2?pk = q1q2?ql ， (4) 则由第三节定理4推论1，必有某个qj（1 ? j ? l），使得p1?qj，所以p1 = qj；又有某个pi（1 ? i ? k），使得q1?pi，所以q1 = pi。 第六节 算术基本定理 于是，由式(3)可知p1 = q1，从而由式(4)得到 p2?pk = q2?ql 。 重复上述这一过程，得到 k = l，pi = qi ，1 ? i ? k 。 证毕。 第六节 算术基本定理 定义1 使用定理1中的记号，称 是n的标准分解式, 其中pi（1 ? i ? k）是素数, p1 p2 ? pk，? i（1 ? i ? k）是正整数. 由此可得下面推论，推论1、推论2证明留作习题。 第六节 算术基本定理 推论1 使用式(2)中的记号，有 (ⅰ) n的正因数d必有形式 ， ?i?Z，0 ? ?i ? ? i，1 ? i ? k； (ⅱ) n的正倍数m必有形式 M?N，?i?N，?i ? ? i，1 ? i ? k。 第六节 算术基本定理 推论2 设正整数a与b的标准分解式是 其中pi(1 ? i ? k)，qi(1 ? i ? l)与ri(1 ? i ? s)是两两不相同的素数，?i，?i(1 ? i ? k)，?i(1 ? i ? l)与?i(1 ? i ? s)都是非负整数，则 第六节 算术基本定理 (a, b) = ， ?i = min{?i, ?i}，1 ? i ? k， [a, b] = ， ?i = max{?i, ?i}，1 ? i ? k。 第六节 算术基本定理 推论2 ? 设正整数a与b的标准分解式是 其中p1, p2, ?, pk 是互不相同的素数，?i，?i（1 ? i ? k）都是非负整数，则 第六节 算术基本定理 推论3 设a，b，c，n是正整数， ab = cn ，(a, b) = 1， (5) 则存在正整数u，v，使得 a = un，b = vn，c = uv，(u, v) = 1。 证明 设 ，其中 p1, p2, ?, pk 是互不相同的素数，?i（1 ? i ? k）是正整数。 第六节 算术基本定理 又设 其中?i，?i（1 ? i ? k）都是非负整数。由式(5)及推论2 ?可知 m