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基于数学史的“勾股定理”教学设计 包吉日木图 （内蒙古师范大学 数学科学学院 呼和浩特 ） “勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化涵．《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题．那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的探索过程呢？笔者认为教师应该以勾股定理的历史文化发展为线索来设计课堂教学模式更为合适． 1 教学目标 ⑴使学生在探索中“发现”勾股定理； ⑵使学生从勾股定理的历史背景中体验勾股 定理； ⑶使学生从不同文化中的勾股定理的不同证明方法中感受数学证明的灵活、优美，感受勾股定理的丰富文化内涵； ⑷使学生应用勾股定理解决实际问题． 2 教学课时 利用两课时的时间来完成勾股定理的教 学． 3 教学过程 3.1 从文化传统习惯入手使学生“发现”勾股 定理 教师在课前要做好形式多样的三角形的模型（既有直角三角形又有非直角三角形，为方便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数．）．发给每位学生两个直角三角形和一个非直角三角形，并把全体学生分成几个小组，使得每位学生都要利用直尺测量三角形的三条边长，并记录数据．然后，提出问题： ⑴你手里的直角三角形的三条边的平方之间有什么关系？ ⑵你在⑴中得到的结果对非直角三角形也成立吗？ 通过计算，小组内讨论，每个小组选一个代表给大家陈述本组的结论．教师在参与、指导整个过程的基础上，根据学生的回答，给出正确的结论： ⑴任意直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，这就是我们要学的勾股定理的内容．这里的“勾”和“股”指的是直角三角形的两个直角边，斜边叫作“弦”． ⑵任意非直角三角形都不存在这种关系． 中国传统数学非常重视测量和计算，这是古人发现问题、解决问题的主要方法之一，也是学生很熟悉的学习方法．这样引入课题符合从特殊到一般的思维规律，能够带动学生的学习积极性． 3.2 向学生介绍勾股定理的历史背景 据史书记载，大禹治水与勾股定理有关，禹在治水的实践中总结出了勾股术（即勾股的计算方法）用来确定两处水位的高低差．可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人．中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形]．它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五．勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长…… 《周髀算经》卷上还记载西周开国时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例．卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式： “……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日．” 由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天．勾股定理又叫做“商高定理”． 在国外，早在古希腊之前的一千多年前的汉谟拉比时代的巴比伦人已经发现了勾股定理，并认为勾股定理的第一个证明是毕达格拉斯给出的．因此，他们把勾股定理叫做“毕达哥拉斯”定理．据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，宰了一百头牛来祭神，但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，并且后来人们指出宰牛之说与毕达哥拉斯学派奉行的素食主义相违．尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch，约46-120）的面积剖分法(见证法1)． 从毕达格拉斯时代到现在，对勾股定理给出了许多种不同的证明． “在卢米斯（E.S. Loomis）的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了这个著名定理的370种证明，并把它们分了类．” 3.3向学生展示历史上勾股定理的不同证明 方法 3.3.2 欧几里得（Euclid，约公元前300）的证 明： 3.3.3 赵爽（公元3世纪前期）的证明： 3.3.4 刘徽（公元263年左右）的证明： 刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“