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勾股定理与勾股数趣谈 In This Section… 千古第一定理——勾股定理 1、千古第一定理——勾股定理 1、千古第一定理——勾股定理 在三角形中，直角三角形是一类极端重要的特殊三角形，也是人类最早认识和感兴趣的一类三角形，任何三角形都可以分解为两个直角三角形。 1、千古第一定理——勾股定理 1、千古第一定理——勾股定理 勾股定理是直角三角形的特征： 直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，即 1、千古第一定理——勾股定理 勾股定理是人类认识最早、关注最多、应用最广的一个定理，可以说是千古第一定理。 在西方，传说这个定理是由古希腊的著名学派——毕达哥拉斯（Pythagoras, 约公元前580—公元前500）学派发现的，因而被称为毕达哥拉斯定理。 毕达哥拉斯(Pythagoras) 约公元前 560 年生于莎莫斯岛 约公元前 480 年卒于梅塔蓬图姆 精通哲学、数学、天文学、音乐理论 毕达哥拉斯(Pythagoras) 2. 勾股定理的重要性 勾股定理作为数学中的第一个重要定理，与黄金分割一样，被人们认为是几何学的两大宝藏之一. 2. 勾股定理的重要性 （1）勾股定理是联系数学中最基本、也最原始的两个对象——数与形的第一定理. 没有勾股定理，也就没有平面上两点间距离公式，也就更不会有一般欧几里得空间上两点间距离公式，也就不会有微积分，不会有一般度量空间的概念与理论，也就没有数学的今天； 2. 勾股定理的重要性 （2）勾股定理导致了不可通约量的发现，深刻揭示了数与量的区别，导致了无理数的发现； 2. 勾股定理的重要性 （3）勾股定理开始把数学由实验数学（计算与测量）阶段转变到演绎数学（推理与证明）阶段； 2. 勾股定理的重要性 （4）勾股定理的三边关系式是最早得到完满解答的不定方程， 它也导致了包括费马大定理在内的各式各样的不定方程的研究。 2. 勾股定理的重要性 勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。 尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。 3. 勾股数 西方人把满足 x2+y2=z2 的正整数组（x,y,z）称为毕达哥拉斯数组，我们称之为勾股数（组）。 勾股定理的历史 作为几何学的两大宝藏之一，有确凿的证据表明，在号称四大文明古国的中国、印度、埃及、巴比伦，都对勾股定理有一定程度的认识。值得特别提出的是古代中国和古巴比伦。 1. 古代中国商高定理 在古代中国，成书于公元前1世纪左右的《周髀算经》，是一部较早记载勾股定理的著作。 1. 古代中国商高定理 (1) 公元前1100年左右,周武王的弟弟周公姬旦与商高的对话___“勾股术” ： “……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。…… ” 意思是说: 在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长（弦长）为五。 1. 古代中国商高定理 (2) 陈子（公元前6-7世纪人）测量地球到太阳距离的方法： “勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日”， 这应是对勾股定理的完整叙述。 1. 古代中国商高定理 (3)《九章算术》、《缉古算经》等中，还记载了其它一些具体的勾股数并有一定的讨论。公元三世纪初，我国数学家赵爽在《周髀算经注》中给出了勾股定理的一般形式和几何证明。 2. 古巴比伦的泥板文书 2. 古巴比伦的泥板文书 2. 古巴比伦的泥板文书 从几何观点看勾股定理 从几何观点看勾股定理 在几何方面，一个正实数的平方代表了以此数为边长的正方形的面积，而勾股定理表明，以直角三角形斜边长为边的正方形的面积等于分别以两直角边为边长的正方形的面积之和。 证明一__几何原本的证明 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. ? 约 265 B.C.） 证明一__几何原本的证明 证明一__几何原本的证明 证明一__几何原本的证明 证明一__几何原本的证明 证明一__几何原本的证明 证明一__几何原本的证明 证明二——弦图 赵爽，又名婴，字君卿。 东汉末至三国时代吴国人 为《周髀算经》作注，其中有《勾股圆方图注》，写道：“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实。” 证明二——弦图 证明二——弦图 证明二——弦图 证明二——弦图 证明三——美国总统的证明 加菲（James A. Garfield. 1831 ? 1881） 证明三——美国总统的证明 证明二与证明三的比较 两个证明基本上相同！ 证明二与证明三的缺点 两个证明都需要到以下恒等式： (a ? b)2