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Butterfly0923 Doraemonok jackfeng 2008年南开大学ACM协会暑期集训 数论 求素数方法 1）p[N]存储所有的素数，二重循环，用已经求出的不大于平方根的所有素数试除 for(i=2;in;++i) for(j=0;jm p[j]*p[j]=n;++j) 如果p[j]整除i，则i不是素数 如果都不能整除，则i是素数，添加到素数列表p[N]; 素数 2）增加布尔型数组b[N]记录是否为素数，初始化所有值=1，从头开始遍历，如果b[i]==1，则i是素数，将所有的i的倍数j均修改为b[j]=0 for(i=2;in;++i) 如果b[i]==1则添加到素数列表p[]，然后利用循环for(j=i;jn;j+=i) b[j]=0将i的所有倍数删掉 思考：试比较两种方法效率 大数的素性检测 Rabin-Miller素数测试非素数通过测试概率为 ? Pollard-ρ算法大数的快速分解 这两种算法在此不予以介绍，有兴趣的同学可以到google上有哪些信誉好的足球投注网站或参看相关书籍 二分法in乘方 如何计算a^n ？ 1）计算a*a*a*…*a*a*a，需要计算n-1次乘法，时间复杂度O(n) 2）考虑实例a^4，计算b=a*a，再算c=b*b，则c=a^4，但是只用了两次乘法，效率提高。比如a^9=a*(a^4)*(a^4)，只需用4次乘法，一般的，a^n时间复杂度为O(logn) 二分法in乘方 第二种算法与二进制的关系 9=(1001)2， a^9=a^8*a; 10=(1010)2， a^10=a^8*a^2; 从二进制最后一位开始，如果第k位是1，就乘以a^(2^(k-1)),计算每个a^(2^k)需要logn，得到答案最多需要乘logn次，所以复杂度是O(logn) 如果把a看作矩阵，上面方法可应用于矩阵乘方 （注：这并不是最快的办法，有兴趣的同学可以做一下poj3134） 改进乘方算法应用于fibonacci 普通的算法求Fn的时间复杂度为O(n)，当然如果要求求出所有的Fn，这种已经是最优的了，但是如果只求某一个Fn，可以改进 GCD（Great Common Divisor) Euclid 算法 int gcd ( int a, int b ) { int mod; while ( mod = a % b ) a = b, b = mod; return b;}//注意这里面必须a,b都为正数，否则要加其他判断语句 Extended-Euclid 算法: 同时求出 v, u 使gcd ( a, b ) = u * a + v * b（重要） 非递归的不好写，建议写递归的 扩展欧几里得算法 注意到对于gcd(a,b) = d 我们对(a, b)用欧几里德辗转相除会最终得到(d, 0)此时对于把a =d, b = 0 带入a*x + b*y = d，显然x = 1，y可以为任意值，这里y可以为任意值就意味着解会有无数个。我们可以用a = d, b = 0的情况逆推出来任何gcd(a, b) = d 满足a*x + b*y = d的解。如果x0, y0是b*x + (a%b)*y = d 的解，那么对于a*x + b*y = d的解呢？ 扩展欧几里得算法 b*x + (a%b)*y = d?=?b*x + (a - [a/b]*b)*y = a*y + b*(x - [a/b]*y)，所以a*x + b*y = d的解x1 = y0， y1 = x0 - [a/b]*y0; 这样我们可以程序迭代了。 注：a,b为正整数，设集合A = {x*a+y*b|x,y是整数}，则A中最小正元素是gcd(a,b) Extended-Euclid 算法 扩展欧几里德算法： EXTENDED-EUCLID(a, b) if b = 0 then return (a, 1, 0) (d’,x’,y’) ← EXTENDED-EUCLID(b, a%b) (d, x, y) ← (d’, y’, x’ – (a/b) * y’) return (d, x, y) * 求解模线性方程 定理：方程ax=b(mod n)对于未知量x有解，当且仅当gcd(a, n)|b 定理：方程ax=b(mod n)或者对模n有d个不同的解，其中d=gcd(a, n)或者无解。 * 求解模线性方程 定理：设d=gcd(a, n)，假定对整数x’和y’，有d=ax’+ny’。如果d|b，则方程ax=b(modn)有一个解的值为x0，满足x0=x’(b/d)mod n。 * 求解模线性方程 定理：假设方程ax=b(mod n)有解（即有d|b，其中d=gcd(a, n)），x0是该方