复变函数-高等教育出版社-第七讲.ppt

第七讲 泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数 作业 P143 12(1)(3),16(2)(3) 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 　　 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 4. 展开式的唯一性 结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。 事实上， D z0 R1 R2 c D z0 R1 R2 c * 1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式 §4.3 泰勒(Taylor)级数 1. 泰勒(Taylor)展开定理 现在研究与此相反的问题： 一个解析函数能否用幂级数表达? (或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函 数在解析点能否用幂级数表示？） 由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在 它的收敛圆内部是一个解析函数。 以下定理给出了肯定回答： 任何解析函数都一定能用幂级数表示。 定理（泰勒展开定理） D k 分析： 代入(1)得 D k z ---(*)得证！ 证明 (不讲) (不讲) 证明 (不讲) 2. 展开式的唯一性 结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它 　　　的Taylor级数。 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样 的展开式是否唯一？ 事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数: 由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。 ---直接法 ---间接法 　代公式 　由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 　 析运算和 已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor级数的方法： 3. 简单初等函数的泰勒展开式 例1 解 上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法. 例2 把下列函数展开成 z 的幂级数: 解 (2)由幂级数逐项求导性质得： 　(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负 实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一 个奇点是-1,?它的展开式的收敛范围为?z?1. 定理 1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性 §4.4 罗朗(Laurent)级数 由§4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 ?z - z0?R 内展开成 z - z0 的幂级数。 若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1?z - z0?R2 内解析， 那么，f (z)能否用级数表示呢？ 例如， 由此推想，若f (z) 在R 1?z - z0?R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析 的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解 析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数 和计算留数的基础。 1. 预备知识 Cauchy 积分公式的推广到复连通域 ---见第三章第18题 D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 2. 双边幂级数 ---含有正负幂项的级数 定义 形如 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分： 负幂项部分： 级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在 ?z - z0?=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在?z - z0?=R 2外发散。 z0 R1 R2 z0 R2 R1 (2)在圆环域的边界?z - z0?=R1, ?z - z0?=R2上, 3. 函数展开成双边幂级数 定理 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1 记为I2 *