复变函数-高等教育出版社-第八讲.ppt

第八讲 留数 * 1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系 §5.1 孤立奇点 1. 定义 例如 ----z=0为孤立奇点 ----z=0及z=1/n? (n = ?1 , ?2 ,…)都是它的奇点 ----z=1为孤立奇点 定义 ~~~~~~~~~ x y o 这说明奇点未 必是孤立的。 2. 分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察： 特点： 没有负幂次项 特点： 只有有限多个负幂次项 特点： 有无穷多个负幂次项 定义 　 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内， 　　　 若f (z)的洛朗级数 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点; 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ 3. 性质 　若z0为f (z)的可去奇点 　若z0为f (z)的m (m ? 1) 级极点 例如： z=1为f (z)的一个三级极点， z=?i为f (z)的一级极点。 　若z0为f (z)的本性奇点 4. 零点与极点的关系 定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成 则称z=z0为f (z) 的m 级零点。 例如： 定理 事实上， 必要性得证！ 充分性略！ 例如 定理: 证明 “?”　若z0为f (z)的m 级极点 例 解　显然，z=?i 是(1+z2)的一级零点 综合 1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则 §5.2 留数(Residue) 1. 留数的定义 定义　设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义,　 Res [f (z), z0]= c–1 　　　　(1) 2. 留数定理 定理 证明 D c zn z1 z3 z2 由复合闭路定理得： 用2?i 除上式两边得: 得证！ 求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立 奇点的留数。 一般求 Res [f (z), z0] 是采用将 f (z) 在 z0 邻域内 展开成洛朗级数求系数 c–1 的方法, 但如果能先知道 奇点的类型，对求留数更为有利。 以下就三类孤立奇点进行讨论： 3. 留数的计算规则 规则I 规则II 事实上，由条件 　当m=1时，式(5)即为式(4). 规则III 事实上，