复变函数-高等教育出版社-第四讲.ppt

作业 P99 1,2,5,7(1)(2) 第四讲　复变函数的积分 §3.1 复变函数积分的概念 §3.2 柯西-古萨基本定理 §3.3 基本定理的推广 §3.4 原函数与不定积分 §3.5 柯西积分公式 §3.6 解析函数的高阶导数 §3.7 解析函数与调和函数的关系 第三章 复变函数的积分 1. 有向曲线 2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法 4. 积分性质 §3.1 复变函数积分的概念 1. 有向曲线 C A(起点) B(终点) C C 2. 积分的定义 定义 D B x y o 3. 积分存在的条件及其计算法 定理 证明 由曲线积分的计算法得 4. 积分性质 由积分定义得： 例1 解 又解 A o x y 例2 解 o x y r C ? í ì 1 = = - = - \ ò ò = - + + 0 0 0 2 ) ( ) ( 0 1 0 1 0 n n i z z dz z z dz r z z n C n p o x y 例3 解 解: 例4 分析§1的积分例子: §3.2 Cauchy-Goursat基本定理 由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通有关。 先将条件加强些，作初步的探讨 —Cauchy 定理 Cauchy-Goursat基本定理： B C —也称Cauchy定理 (3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。 B B C 推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意 两点z0, z1∈B, 积分∫c f (z)dz不依赖于连接起点 z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。 C z1 z0 C1 C2 C1 C2 z0 z1 复合闭路定理： §3.3 基本定理推广—复合闭路定理 证明 D C c1 c2 B L1 L2 A A’ E E’ F F’ G H 说明 此式说明一个解析函 数沿闭曲线的积分， 不因闭曲线在区域内 作连续变形而改变它 的积分值，只要在变 形过程中曲线不经过 f(z)的不解析点. —闭路变形原理 D C C1 C1 C1 例 解 C1 C2 1 x y o 练习 解 C1 C2 1 x y o