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微积分与数学史 报告团队： 刘念 彭燕 微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和 应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。 我国的微积分思想萌芽 公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。 西方的微积分思想萌芽 安提芬的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基米德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。 十七世纪微积分的酝酿 第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题 这些都是来源于当时的运动学、光学、力学等的实际问题。但是用已有的数学知识却无法解决。例如在第一类问题中，变速运动的物体的速度每时每刻都在变化，要计算某个时刻的速度，就不能用时间去除这段移动的距离来得到。但是在给定时刻的时间和移动距离都是零，而０／０是没有意义的。又根据物理常识，一个运动的物体在它运动的每一时刻都必有速度，那么怎样才能求得这个瞬时速度呢？其他三个问题也类似地向数学提出了挑战。为了迎接挑战，众多的现在都已经很知名的数学家开始着手解决这些问题，如费玛、开普勒、巴鲁、帕斯卡……等。这些数学家各自用一些特殊的方法解决了一些具体问题。如开普勒把圆的面积看作是无穷多个顶点在圆心，底在圆周上的小三角形的面积，然后由正内接多边形的面积公式，周长乘上半径除以 2 得到了圆的面积；而巴鲁则利用“微分三角形”的思想得到了求曲线切线的方法。这些“无限小量”，“微分三角形”等概念和思想，为微积分的诞生积累了大量的知识和素材。最后由牛顿、莱布尼兹这两个能居高临下，鸟瞰当时整个数学面貌的天才人物，从前人大量的具体工作结果中抽象出一般概念，总结了普遍规律，创建了真正意义上的微积分。 第二次数学危机 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 初步解决 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。 微积分的诞生拉开了近代数学的序幕, 推动了许多数学新分支的产生。微积分学是建立在实数、函数和极限的基础上的学科, 是微分学和积分学的统称。微积分在内容和体系上与初等数学都截然不同,其高度的抽象性和严密的符号体系往往令学生不知所从。传统教材很少关注知识的形成过程和文化背景, 把更多的注意力放在知识的逻辑结构上, 而且与自然科学、社会科学及应用科学各个分支学科严重脱节, 授课教师也多是注重知识传授的连贯性和严密的逻辑性推理体系。这些不利因素, 严重影响了微积分教学的趣味性, 减弱了学生对微积分这一学科的学习兴趣。 微积分是变量数学诞生的标志之一 微积分有许多解决问题的方法 微积分是生动的 例如:导数的几何意义、物理意义、经济学意义 学习中存在的问题： 对微积分的数学方法很不以为然： 1.很不习惯ε－δ之类的语言 2.对许多概念的未进行仔细的分析 微积分是高中的教学内容，涉及极限、导数等知识点， 在选修内容3中有要求 但无严格的ε－δ语言 初等数学是常量的数学 高等数学是变量的数学 ——微积分是变量数学诞生的标志之一 什么是变量的数学？ 将“变”的概念引入数学引起了何等深刻的变化？ 什么是“变”或“变量”？ 从历史的发展，这些问题是怎样进入数学家的视野的。说明ε－δ的出现，正是科学进步的结果，是数学科学区别于其他科学最明显的特点。 谢谢！ * * 魏晋时期的数学家刘徽的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元，用他的话说，就