数学史(数学物理和微分方程).pptVIP

10.3.3 数学物理与微分方程;数学物理：数学物理以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。;19世纪偏微分方程重要发展之一;在对物体的物理性状作出一定的限制(如均匀，各向同性)后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程 其中 k 是一个常数，其值依赖于物体的质料．傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、面绝热而无热流通过的柱轴，在此情形下求解上述热传导方程．因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是解偏微分方程 其中下面的两项分别是边界条件和初始条件．傅里叶为解这个方程用了变量分离法，他得到 ;为了满足初始条件，必须有 这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数，能否将它表示成三角级数的问题．傅里叶得出的结论是：每个函数都可以表示成 ;接着，他考虑了任何 在区间 的表达式，利用任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这一事实，傅里叶可以将区间 上的任何 表示为 ; 傅里叶的工作不仅发展了偏微分方程的理论，而且使函数概念得以改进，同时也标志着人们从解析函数或可展成泰勒级数的函数中解放了出来．傅里叶的前辈都曾坚持一个函数必须是可用单个式子表示的，而傅里叶级数却可以表示那些在区间 或 的不同部分有不同解析式的函数，不论这些表示式互相是否连续地接合着．特别是一个傅里叶级数是在一整段区间上表示一个函数的，而一个泰勒级数仅在函数是解析的点附近表示该函数． ;19世纪偏微分方程的另一个重要发展; 位势方程 ;其他成就：麦克斯韦的电磁场方程 黏性流体运动的纳维—斯托克斯方程（N-S方程） 弹性介质的柯西方程 ;对18、19世纪建立起来的类型众多的微分方程，数学家们求显式解的努力往往归于失败，这种情况促使他们转而证明解的存在性．最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西． 他指出：在求显式解无效的场合常常可以证明解的存在性．他在1820年代对形如的常微分方程给出了第一个存在性定理，这方面的工作被德国数学家李普希茨(R.Lipschitz)、法国数学家刘维尔(J.Liouville)和皮卡(E.Picard)等追随． 柯西也是讨论偏微分方程解的存在性的第一人，他在1848年的一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组，然后讨论了偏微分方程组的存在性并提出了证明存在性的长函数方法． 柯西的工作后来被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅(C.B.Kovalevskaya，1850—1891)独立地发展为包括拟线性方程和高阶组在内的非常一般的形式．柯瓦列夫斯卡娅的论文《偏微分方程理论》刊登在克雷尔《数学杂志》上(1875)，有关的偏微分方程解的存在唯一性定理在现代文献中就称“柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理”． ;生：1850.1.15 　　 卒：1891.2.10 　 国籍：俄国 评价：世界历史上第一 个获得科学院院士的女科学家; 由于18世纪的大量开发，常微分方程的求解在19世纪反而局限于用分离变量法解偏微分方程时所得到的方程，并且多半使用级数解，这引导出一串特殊函数，如贝塞尔函数(1816)、高斯超几何函数(1812)等等． 在19世纪后半叶，对常微分方程研究的理论方面变得突出，并且在两个大的方向上开拓了常微分方程研究的新局面，其中的重大发展都与庞加莱的名字联系着． 第一个方向是与奇点问题相联系的常微分方程解析理论。 另一个崭新方向——定性理论 ;国籍： 法国 出生日期： 1854年4月29日 逝世日期： 1912年7月17日 职业： 数学家、天体力学家、科学哲学家 主要成就： 创立代数拓扑学，相对论先驱 ; 庞加莱、克莱因和希尔伯特，是在19和20世纪数学交界线上高耸着的三个巨大身影．他们反射着19世纪数学的光辉，同时照耀着通往20世纪数学的道路．在19世纪末，数学发展呈现出一派生机蓬勃的景象，这与18世纪形成了鲜明的对比．无论从内部需要还是外部应用看，数学家们似乎都有做不完的问题。1900年8月5日，庞加莱宣布巴黎国际数学家大会开幕，正是在这次会议期间，希尔伯特充满信心地走上讲台，以他著名的23个问题揭开了20世纪数学的序幕．