数学史--第五讲-微积分的创立--课件.ppt

第五讲 微积分的产生 1.1 解析几何的诞生 欧洲数学的复苏过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是他们把亚里士多德、托勒玫的一些学说奉为绝对正确的教条，企图用这种新的权威主义来继续束缚人们的思想。 进入15、16世纪，西方数学的主要成就体现在代数学的迅速发展上。一方面，代数方程论取得了长足的进展，意大利数学家获得了三次、四次方程的公式解法。另一方面，人们在代数中引入符号，符号体系对于代数学本身的发展以及后来分析学的发展来说，都是至关重要的。 在符号体系上使代数产生最大变革的使法国数学家韦达（1540－1603），描述根与系数关系的韦达定理就是以他的名字命名的。他是第一个系统地在代数中使用字母的人，他的名著《分析术引论》被认为是一部符号代数的最早著作。韦达被誉为“代数学之父”。在韦达之后，数学符号陆续被引入，符号体系不断得到改进和完善，最终形成了我们现在使用的简捷、优美的数学符号体系。 17世纪，随着社会生产力的发展，西方在天文、力学等方面获得一些新发现。比如德国天文学家开普勒发现行星沿着椭圆轨道运行，意大利科学家伽利略发现投掷物体沿着抛物线运动等等，这些发现重新激发起人们对曲线研究的热情。而代数学科已日趋成熟并且其解决问题的威力也日渐显现。于是通过代数寻求解决几何问题，找到研究曲线额新途径成为数学发展的趋势。解析几何的出现成为大势所趋。 笛卡儿（1596－1649）法国哲学家、数学家。一生涉猎极广，他最有影响的方面是哲学和数学。在哲学上,笛卡儿被恩格斯誉为“现代哲学之父”。在数学上，他贡献很多，比如用a,b,c表示已知数，用x,y,z表示未知数就是笛卡儿的创造。当然最重要的贡献就是创建了解析几何，跨出了从常量数学到变量数学的第一步，把被古希腊人割裂的代数与几何、数与形重新粘合在一起，使几何曲线与代数方程相结合，最重要的，它直接促使了微积分的诞生。 正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。” 1.2 半个世纪的酝酿 一、积分学的发展 最早使用这种成功的富有启发性的方法的是开普勒。　　 开普勒在探索行星运动的规律时，遇到如何确定一个椭圆扇形的面积和椭圆弧长的问题。逐渐地，他建立起一种应用无穷小的方法。 例1：圆的面积 例2：球的体积 1615年，开普勒出版数学著作《测量酒桶的新立体几何》。在该书中，开普勒向人们展现了如何应用自己的新方法来解决更为复杂的问题，他最终给出了包括各种各样的旋成体在内的92种几何体体积的计算公式。 不难看出，开普勒随意使用的这种方法是粗糙的。比如在求圆的面积时，他把圆看作无穷多个无穷小的三角形，这意味着在这种情况下，圆周上的极短弧变成了三角形的底，半径变成了三角形的高。但实际上，无论这个弧多么小，它都是曲线，不可能是直的，而高总是小于圆的半径。 尽管存在缺点，开普勒的方法仍然开辟了一个广阔的新思路。不久后，另一位数学家卡瓦列里进一步发展了这一方法，并成功地解决了开普勒提出但未能解决的某些较难的问题。 卡瓦列里，约1598年生于意大利米兰；1647年卒于意大利波伦亚．早年是耶稣会修士。后来，在伽利略的一个学生卡斯泰利引导下，开始研究几何学，并很快被欧几里德、阿基米德等人的经典著作所吸引，并表现出非凡的数学才能。1617年后，卡瓦列里直接就学于伽利略，此后卡瓦列里一直把自己看作伽利略的学生。1629年，卡瓦列里得到波伦亚大学的首席数学教职，并在这个岗位上一直工作到去世． 卡瓦列里的主要贡献是建立了不可分量方法，代表作是1635年出版的《用新方法促进的连续不可分几何学》，该方法以下述假设为基础：线是由无穷多个点组成的，面是由无穷多条线组成的，体是由无穷多个面组成的。书中还给出卡瓦列里原理，与公元6世紀中国数学家祖暅的祖氏原理本质相同。 依据上述原理，他用几何方法求得若干曲边图形的面积，还证明了旋转体表面积和体积等公式。他在《六个几何问题》(1647)中进一步发展了他的方法。在以后十年中不可分量方法是数学家研究几何中无穷小问题引用最多的理论，被莱布尼兹誉为当时几何学的顶峰，对微积分的创立有重要影响。 卡瓦列里的方法与开普勒的方法有些差异.比如开普勒是认为几何图形是由同一维数的不可分量(无穷小的面积或体积)组成的;而卡瓦列里认为几何图形是由无穷多个较低维数的不可分量组成的. 卡瓦列里推出了区间[0,a]上的曲线y=xn(n为正整数)下的图形面积为an+1/(n+