数学史-第10讲-几何学的突破.ppt

第十讲　几何学的突破 非欧几何的创立 射影几何的创立 几何学的统一 一、对欧几里得几何的坚决拥护 1.巴罗：列举了8点理由来肯定欧氏几何 ①概念清晰；②定义明确；③公里直观可靠而且普遍成立；④公设清楚且易于想象；⑤公理数目少；⑥引出量的方式易于接受；⑦证明顺其自然；⑧避免未知事物。 极力主张将数学包括微积分都建立在几何基础之上 2.17、18世纪的哲学家从霍布斯、洛克到康德，也都从不同的出发点认为欧氏几何是明白的和必然的 3.笛卡尔在发明了解析几何以后仍坚持对每一个几何作图给出综合证明 4.牛顿在首次公开他的微积分发明时也坚持给它披上几何的外衣。 　公元前3世纪到18世纪末，数学家都坚信欧氏几何的完美与正确。但美中不足的是欧几里得第五公设与众不同：比较特殊，不像其它公设那样简洁、明了，数学家们就此而耿耿于怀。当时就有人怀疑它不像一个公设而更像一个定理，并产生了从其他公设和定理推出这条公设的想法。甚至欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫。 欧几里得五大公设 1.假定从任意一点到任意一点可作直线； 2.一条直线可不断延长； 3.以任意中心和直径可以画圆； 4.凡直角彼此相等； 5.若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。 二、对第五公设的证明研究 1.替代公设： 过已知直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行。 一般将这个替代公设归功于苏格兰数学家、物理学家普莱菲尔，所以有时也称普莱菲尔公设。但实际上古希腊数学家普洛克鲁斯在公元5世纪就陈述过它。 　平行公设的等价命题还有： 三角形的三条高线交于一点。 任意三角形的内角和等于180度。 同一条直线的垂线和斜线一定相交。 同一平面上两不相交的直线与第三条任一割线必构成相等的同位角。 任一三角形有外接圆。 存在面积相等而不全等的三角形。 与已知直线等距且同侧的三点共线。 正六边形的边长等于外接圆半径。 2.历史上第一个证明第五公设的重大尝试：古希腊天文学家托勒玫（约公元150年）作出的。后来，又是普洛克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了后来被称为普莱菲尔公设的东西。 3.中世纪的阿拉伯数学家奥马·海亚姆和纳西尔丁等也尝试过第五公设的“证明”。 4.文艺复兴时期对希腊数学兴趣的恢复使欧洲数学家重新关注起第五公设。17世纪，研究过第五公设的数学家有获利斯等。 但是，每一种“证明”要么隐含了一个与第五公设等价的假定，要么存在着其他形式的推理错误。并且这类工作对数学思想的进展没有多大现实意义。因此，18世纪中叶的达朗贝尔把平行共设的证明问题称为：“几何原理中的家丑”。 三、非欧几何的先行者 1.萨凯里：最先使用归谬法（反证法）证明平行公设。 他在一本叫《欧几里得无懈可击》（1733）的书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。 2.克吕格尔：1763年，在他的博士论文中首先指出萨凯里的工作实际并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论。克吕格尔是第一个对平行公设能否由其他公理加以证明表示怀疑的数学家。 3.兰伯特：1766年，兰伯特写出了《平行线理论》一书。在这本书里，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，不过他考虑的是一个三直角四边形（萨凯里考虑的是双直角等腰四边形）。兰伯特最先指出：通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。 　萨凯里、克吕格尔和兰伯特等，都可以看作非欧几何的先行者。但他们走到了非欧几何的门槛前，却由于各自不同的原因或则却步后退（如萨凯里在证明一系列非欧几何的定理后却宣布“欧几里得无懈可击”），或则徘徊不前（如兰伯特在生前对是否发表自己的结论一直踌躇不定，《平行线理论》一书也是他死后由其朋友发表）。突破具有两千年根基的欧氏几何的束缚，需要更高大的巨人。 四、非欧几何的发明人 1.高斯 ①最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧氏几何一样正确的新几何学； ②1799年,意识到平行公设不能由其他的欧几里得公理推出； ③从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何； ④“非欧几何”这个名词来自高斯(起先称为“反欧几里得几何”，最后改称“非欧几里得几何”) ⑤高斯生前并没有发表任何关于非欧几何的论著，也不肯公开支持罗巴切夫斯基。 高斯（C.F.Gauss，1777年4月30日－1855年2月23日） 德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家；是近代数学奠基者之一，高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称；高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家；一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最；高斯在历史