数学史-第二章+中国传统数学成就.ppt

2.1.1 从数(表)演进为爻 太极八卦图 算筹 中国古人称数学为算学  明代邵雍的易图数学结构 2.2 先秦显学中的数学思想 2.3 中国传统数学理论的研究  《九章算术》是以应用问题集的形式表述，一共收入246个问题。《九章算术》把246个问题分为九章： 《九章算术》的内容是由周代的“九数”发展而来的。刘徽称：“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”。 割圆术的基本原理 从圆内接正六边形出发，取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出圆周率的近似值π≈3.14，化成分数为157/50，这就是有名的“徽率” 2.3.3 内插法与天文历法 2.3.4 明算学与“算经十书” 隋唐时期的数学教育制度 —明算学 《孙子算经》（约公元4世纪）与“孙子问题” 2.4 中国传统数学发展的顶峰（900年到1368年 ） 创造出许多具有世界 历史意义的成就  数学家辈出 数学著作涌现  借助贾宪三角，给出一种开高次方的方法：增乘开方法 2.4.2 秦九韶与中国剩余定理秦九韶（1202~1261）与《数书九章》 高次方程数值解法—“正负开方术”（开10次方的问题） 一次同余组解法—“大衍总数术”（“衍”同“演” ） 2.4.3 方程与级数的研究 朱世杰的一般高阶等差级数公式及其应用 贾宪三角与等差级数公式  招差术与等差级数和的关系 2.5 中国传统数学的特点 “大衍求一术” 为求得满足条件的乘率ki，秦九韶把奇数gi与定数ai辗转相除，相继得商数qi和余数ri，即 a i = q1 gi + r1, 并可得到：c1 = q1 g i = q2r1 + r2, c2 = q2c1+1 r1 = q3r2 + r3, c3 = q3c2+c1 …… …… rn-2 = qnrn-1 + rn 秦九韶指出：当rn=1且n为偶数时，则最后所得cn 就是乘率ki；当rn=1，且n为奇数时，可将rn-1与rn相除后，形式上取qn+1=rn-1－1，那么余数rn+1仍为1，再做cn+1=qn+1cn+cn-1，这时n+1为偶数，则cn+1就是所求ki，总之，当辗转相除得到余数1时，整个计算结束 元代初期，开始用文字表示方程中的未知量，并形成了相应的算法——天元术（李冶 ）与四元术（朱世杰 ）高阶等差级数和公式 沈括（约1031~1095）“隙积术”与二阶等差数列求和公式 数列： 22，32，42，52，62，（1） 该数列相邻项之差依次为 5，7，9，11 ，…… （2） 显然（2）是一个公差为2的 等差数列。今天（1）式被称 为一个二阶等差数列 杨辉的“垛积术”与“三角垛公式”： 1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…（1＋2＋3＋…＋n） = n（n＋1）（n＋2）/6 廉数是斜行上数的和 上一斜行各数之和，等于下行 短线所指的一个数 左边第二斜行为1，2，3，4，5，6，7，8 ，是公差为1一阶等差数列，它的前n项和（“茭草垛”公式） 左边第三斜行为1，3，6，10，15，21，28，是二阶等差数列，它的前n项和为（“三角垛”公式） 左边第四斜行为1，4，10，20，34，56，是三阶等差数列，它的前n项和为（“撤星形垛”公式） 朱世杰得到了p阶等差数列求和的一般公式， = “设日数为n，每日招兵数为(n + 2)3,问第15日招兵多少？” 解答中用到了四次内插公式： f (n) = n△1+ n (n－1)△2+ n (n－1)(n－2)△3 + n (n－1)(n－2)(n－3)△4 其中f (n)表示第n日总共的招兵数，且其“四次差”分别为△1=27， △2=37， △3=24， △4=6。恰好是“古法七乘方图”中的各级数之和。 朱世杰的发现表明，借助于高阶等差级数的研究结果，完全可以写出任意高次的招差公式。在欧洲，1670年英国天文学家格烈高里最先对招差法作了说明，牛顿在1676—1678年的著作中才出现了招差法的一般公式，比朱世杰等人的研究成果晚了近四百年。