数学史-第五章+几何学的发展.ppt

第五章 几何学的发展 形的认识  形是人类对生存空间形式的直接认识 从无规则图形逐渐制造出一些规则的形体，形成抽象意义下的几何图形。 图5.1由鱼形演化出的不规则的几何图形 从立体图形到平面图形 图腾崇拜和宗教礼仪 5.2 测量与几何 在几何发展最早的古代埃及，几何一词具有“土地测量”的含义。在古希腊几何学传入中国之后，汉字用几何一词来称谓这门学科，而汉语中“几何”具有“多少”的意思。 5.2.1 经验公式 古埃及人有计算矩形、三角形和梯形面积的方法 三角形面积用一数乘以另一数的一半来表示 圆面积的计算公式是A = (8d/9)2，其中d是直径。这就等于取π为3.1605。 四边形的面积公式：（a + c）（b + d）/4（其中a、b、c、d依次表示边长）。 高为h、底边长为 a和 b的方棱锥的平头截体的体积公式： V = (1/3) h (a2 + ab +b2) 5.2.2 求积方法 勾股术与图证 “析理以辞，解体 用图”—— “弦图” 大方 = 弦方 + 2矩形， （1） 大方 = 勾方 + 股方 + 2矩形， （2） 比较（1）与（2），得 弦方 = 勾方 + 股方。 阿基米德的双重方法——用力学原理发现公式，再用穷竭法加以证明 如图5.11抛物线有内接 三角形PQq，其中P与Qp 中点V的连线平行于抛 物线的轴。阿基米德从 物理的方法发现：抛物线被Qp截得的抛物线弓形的面积，与三角形QPq的面积之比是4：3。阿基米德进而使用穷竭法证明 5.2.3 多边形数 最早的演绎几何学 《几何原本》（约公元前300年，古希腊数学家欧几里得）建立了第一个数学理论体系——几何学。标志着人类科学研究的公理化方法的初步形成， 《几何原本》共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我们今天熟知的平面几何和立体几何的知识，其余各卷则是数论和（用几何方法论证的）初等代数知识。全书证明了465个命题。 5.3.1 《原本》的公理化体系 《原本》的公理化体系：全书先给出若干条定义和公理，再按由简到繁的顺序编排出一系列的定理(465个命题)。使整个几何知识形成了一个演绎体系 公设：（1） 从任一点到任一点作直线是可能的。（2） 把有限直线不断循直线延长是可能的。（注意，这里所谓的直线，相当于今天我们所说的线段。）（3） 以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的。（4） 所有直角彼此相等。（5） 若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点（现今称为平行公理）。 公理： （1） 跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。 （2） 等量加等量，总量仍相等。 （3） 等量减等量，余量仍相等。 （4） 彼此重合的东西是相等的。 （5） 整体大于部分。 从现代公理化方法的角度来分析，《原本》的公理化体系 存在着以下一些缺陷。 没有认识到公理化的体系一定建立在一些原始概念上 《原本》的公理集合是不完备的，这就使得欧几里得在推导命题过程中，不自觉地使用了物理的直观概念. 但是建立在图形直观上的几何推理肯定是不可靠的 例如, 每一个三角形都是等腰的“证明” [插入图5.18] 5.3.2 《原本》中的几何方法 《原本》在证明相关结论中使用了多种几何方法，如,叠合法,归谬法,代数式的几何证法,等等。这些方法是人类早期研究图形性质的数学方法，在现代基础教育中仍发挥着积极的作用。 举例如下： 毕德哥拉斯定理，《原本》使用几何的证法如下： 如图5.19，先证明△ABD△FBC，推得矩形BL与正方形GB等积。同理推得矩形CL与正方形AK等积。 5.4 三大作图问题与《圆锥曲线》 三个作图问题： 倍立方，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍； 三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分； 化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 直到19世纪，才证实了只用圆规和直尺来求解这三个作图题的不可能性，然而对这三个问题的深入探索引出大量的发现。 其中包括 圆锥曲线理论 梅内克缪斯（约公元前4世纪）最先发现了圆锥曲线： [插入图5.24] 阿波罗尼斯的《圆锥曲线论》将圆锥曲线的性质全部囊括 其中圆锥曲线的定义方法如下： [插入图5.25] 5.5 坐标几何与曲线方程思想