数学史-第四章+方程求解与代数符号化.pptVIP

第四章 方程求解与代数符号化 方程求解问题的研究是代数学产生的重要源泉。 代数学的基本方法：用符号表示研究对象以及这些对象间的关 系。代数学发展的历史，就是代数学符号化的历史：文字表示、缩记代数、符号代数学 4.1早期的方程求解方法 4.1.1 配方法与数表法 古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样一个问题： “把正方形的面积加上正方形边长的三分之二得35/60①，求该正方形的边长。” 图4.1 普林顿322号泥版 这个问题相当于求解方程 x2+（2/3）x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程 x2 + px = q的系数代入公式 古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法，这些解法则记录在一些数表上。 图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表 4.1.2《九章算术》的“方程术” 《九章算术》中的“方程章”，是世界上最早的系统研究代数方程的专门论著。它在世界数学历史上，最早创立了多元一次方程组的筹式表示方法，以及它的多种求解方法。 《九章算术》把这些线性方程组的解法称为“方程术”，其实质相当于现今的矩阵变形方法。方程术是通过对方程的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即连续相减）实现减元、获取方程解的过程。 在“方程章”问题的解法中还可以发现下述方程变形的性质： 如果方程的两边都加上（或减去）同一数，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数，那么所得的方程和原方程是同解方程。 刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”法。 4.1.3 开方法解方程 中国古代把解二次方程x2 + bx = c的方法称作“带从开方”；把解三次方程x3 + bx2 + cx=d的方法称作“带从开立方”。 北宋数学家刘益（公元11~12世纪人）使用“增乘开方法”求解一元高次方程。 如，使用“增乘开方法”解 －x2 +60x = 864. 列三行横式 －1 60 864 补零（前移一位， －100 600 864 （2 说明商为二位数）， 首商得2，增乘一次 －200 －800 —100 400 64 －200 再增乘一次， －100 200 64 去零（后移一位）， －1 20 64 （4 次商得4，增乘一次 4 _－64 －1 16 0 恰好减尽。故得方程根 x=24。 4.1.4 几何方法解方程 开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商加后商”）的几 何推导方法 图4.4 面积法开平方 由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其边长是三位数。 (100 a+ 10 b+ c)2 = 55225. 为此，先估计a = 2，如图4.4，于是在AB上截取AE = 200, 以A为一边做正放形AEFG, 从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积： 55225 — 40000 = 15225。 为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b = 3。 在EB 上截取EH = 30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知： 矩形FH的面积 = 矩形FJ的面积=30×EF =300×200. 正方形的 FI的面积=302。 因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更 细的“曲尺形”的面积为 15225 —（2×30×200 +302）= 2325。 最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个 余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一 边做正方形AKLM ，从正方形ABCD减去它，得 2325 —（2×5×230 + 52）= 0。 即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的 平方根：2352 = 55225。 古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程 一次方程ax=b，