数学史—从赵爽弦图谈起.ppt

希尔伯特 大卫·希尔伯特(1862-1943)，20世纪上半叶国际数学界的一位领袖人物。他于1900年在巴黎第二界匡际数学家代表大会上提出的23个数学问题(史称希尔伯特问题)，激发了整个数学界的想象力。此后，这些问题几乎成为检阅数学重大成就的指标。这位创造了20世纪数学史奇迹的数学家和数学思想家，就像数学世界的亚历山大，在整个数学史上留下了他显赫的名字，他被称为“数学界的无冕之王”。 希尔伯特的猜测 之前的出入相补原理足以建立多边形面积理论。按现代几何术语出入相补原理相当于剖分相等或拼补相等。 剖分相等 若有两平面图形F与H，若将F适当剖分有限块，它们重新组合后可以得到图形H，就是说F与H剖分相等，记作F～H。 波尔约特定理:两多边形面积相等的充分必要条件是他们必须剖分相等。 拼补相等 两个平面图形F和H,若各添补有限个全等的图形后得到两个新的全等的图形，则称F和H拼补相等。 但是这些只是在平面几何当中讨论的，如果转到三维空间情形就不这么简单了，关键的问题是两体积相等的图形是否能剖分成有限对全等的部分？即是否一定剖分相等或拼补相等？ 由此希尔伯特就提出了他的猜想即希尔伯特第三问题，两个等底等高四面体的体积相等问题，即是存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。 希尔伯特的猜测 德恩反例 希尔伯特第三问题被他学生德恩（M.Dehn）解决了，他找到了一个反例即存在两个等边等高的四面体，它们不可被剖分为有限个全等的四面体，也不可能由与其它四面体的拼合而成两个本身能剖分成全等四面体的多边形。 德恩定理 任一正四面体R与体积相等的正方体不剖分相等。 德恩不变量 设A是一多面体，a1 , a2 ,…,ap 是A的各二面角（弧 度制），l1,l2, …,lp是相应的边长，若f是定义在包含所有数a1 , a2 ,…,ap 为元素的集合M上的可加函数，则称和 为多面体的德恩不变量，记作f(A). 德恩反例 利用德恩不变量，数学家们找到了越来越多的与正方体不剖分的相等的四面体。如图（a）四面体K其三边ab,bc，bd互相垂直且长度相等。可以证明对某个满足f(π)=0的可加函数f有f（K）不等于0，这就说明四面体K与体积相等的正方体不剖分相等。 另外如图（b）上述三边除垂直外并且它们的长度都为（l）,这称希尔四面体。 德恩反例 希尔四面体通过德恩不变量计算可以证明它与正方体剖分相等的，当初希尔则是通过具体剖分的来实施证明H与正方体剖分相等如图（c）。 易知图H与之前的图K等底等高，但一个是与正方体剖分相等，一个不是，因此它们不剖分相等。这就是希尔伯特第三问题所要的例子。 (c) 从古代出入相补原理到现代体积理论，我们讲述了一个夸文化、跨时代的故事，我们看到了不同民族、不同时代的数学家对同一些问题的关注和锲而不舍的探索以及富有启迪的智慧；看到了中国古代数学知识的多种文化来源；看到了中国古代数学家对这些问题的卓越贡献。我们以西尔伯特说过的话来结束这个故事： “对于数学来说，整个文明世界就是一个国家！” “我们必须知道，我们必将知道！” 一、赵爽弦图 二、勾股定理证明异趣 三、出入相补原理 四、体积计算东西谈 五、希尔伯特第三问题 一、赵爽弦图 赵爽，东汉末至三国时代人，其生平已无从详考。他在《周髀算经》序言中说自己根据《周髀算经》的文字内容画了一组图——“勾股圆方图”，其中第一幅即“弦图”。 弦图证明勾股定理 “勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦。” 如果用a表示“勾”，b表示“股”，c表示“弦”这句话就相当于说: “案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘，为中黄实，加差实亦成弦实。” b-a 中央黄色小正方形的面积 四个红色三角形围成的大正方形的面积 ab 2*(1/2)ab 4*(1/2)ab 商高答周公 周公问：没有梯子可供我们上天，又没有一把合适的尺子可供我们量地那么，怎样确定天有多高、地有多厚呢？ 商高答：办法是有的，那就是利用勾、股、弦之间的关系，即勾三、股四、弦五。 又说：“既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是为积矩。” 这段话引发了许多讨论，赵爽弦图给出的勾股定理的证明，很有可能是对商高这段文字的诠释。 陈子与勾股定理一般形式 陈子论述中最关键之处：“勾股各自乘，并而