数学史概论-第四讲.pptVIP

* * * * 印度数学 1 印度文明概述 2 古代《绳法经》中的数学 3 “巴克沙利手稿”与零号 4 “悉檀多”时期的印度数学 （四）婆什迦罗 (一）阿耶波多 （三）马哈维拉 （二）婆罗摩笈多 第 4 讲. 古代与中世纪的东方数学 印度数学（公元5－12世纪） 史前时期：公元前2300年前 哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出现早期国家 早期吠陀时代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度 后期吠陀时代：前900-前600年，雅利安人的国家形成，婆罗门教形成 列国时代：前6-前4世纪，摩揭陀国在恒河流域中部称霸，开始走上统一北印度的道路，佛教产生 帝国时代：前4-公元4世纪，从孔雀王朝到贵霜帝国 古印度简况 强盛独立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公元320－540）]、外族几乎不断的侵扰、文化受到宗教的影响 《吠陀》印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典 《绳法经》（前8－前2世纪）：庙宇、祭坛的设计与测量，包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理等 印度数学 吠陀时期(公元前10-前3世纪) 悉檀多时期(公元5-12世纪) 印度数学 《吠陀》手稿 （毛里求斯，1980） 古代《绳法经》中的数学 《吠陀》 《测绳的法规》：几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值： 用到? = 3.004和 关于正方形祭坛的计算中取 圆周长 弧长 “巴克沙利手稿”与零号 巴克沙利(Bakhshali)手稿:数学内容涉及到分数,平方根,数列,收支与利润计算,比例算法,级数求和,代数方程等,其代数方程包括一次方程,联立方程组,二次方程.该书使用了一些数学符号,如减号,将“12 ?7” 记成“12 7?”,出现了10个完整的十进制数码,用点表示0： 印度人以“0”表示“无”概念与佛教的“空”(梵文Sūnya)有关. 用圆圈符号“0”表示零也是印度人的一项伟大发明,最早出现于9世纪的瓜廖尔(Gwalior)地方的一块石碑上,大约在11世纪,10个完整印度数码臻于成熟.印度人不仅把“0”视作记数法中的空位,而且也视其为可施行运算的一个特殊的数.公元773年,印度数码传入阿拉伯国家,后来通过阿拉伯人传到欧洲,成为今天国际通用的所谓阿拉伯数码。 “悉檀多”时期的印度数学 阿耶波多(AryabhataI,476-约550） 婆罗摩笈多(Brahmagupta,598-665） 马哈维拉(Mahavira,9世纪) 婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114-约1185)等。 (一）阿耶波多 现今所知有确切生年的印度最早数学家 天文数学著作:《阿耶波多历数书》(499) 贡献：对希腊三角学的改进； 一次不定方程的解法。 半弦与全弦所对弧的一半相对应 B C A ? 以半径的1/3438作为度量弧的单位给出了第一象限内间 隔为3?45‘的正弦差值表。 印度第一个正弦表:天文著作《苏利耶历数全书》 (约5世纪) 阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程 整数解，首先对a，b使用辗转相除法得到系列商{ q1 , q2 , q3 , …, qn }, 以及相应的余数系列：{ r1 , r2 , r3 , …, rn = 0 },依法则： 计算, 得到 的渐近分数序列： 有 ， ， 于是不定方程的特解为 （二）婆罗摩笈多 著作:《婆罗摩修正体系》(628)《肯德卡迪亚格》(约665) 贡献:把0作为一个数来处理 对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则 给出二次方程的求根公式 给出佩尔(Pell)方程的一种特殊解法:“瓦格布拉蒂” 方法:首先选择适当的整数k与k‘，分别找出ax2 + k = y2和ax2 + k ’ = y2的解(? , ?)与(?‘, ?’ ),再做所谓“瑟马萨” 的组合,得到: , 为ax2 + k k = y2的解. 取 k = k’ , 若a? 2 + k = ? 2，则是a x 2 + k 2 = y 2的解. 这样就得到a x 2 + 1 = y 2的解： 婆罗摩笈多进一步指出，只要在k = ?1，?2，?4 的条件下，求得 a x2 + k = y 2的一组解(? , ? )，就可得出