数学史课件：第三章-数与数系的发展.ppt

第三章 数与数系的发展 主要内容 原始人类的数感（Number Sence） 数的抽象概念与数的符号 数域扩张（简称“扩域”）形成五大数系 公理化的方法创造超复数 四元数 一一对应的计数方法 超限数的连续假设 3.1 数的起源 “数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现实世界中得来的。” 对数的起源的进程归结为：依赖于本能感觉，形成一一对应的计数方法，建立集合的等价关系并给出其一个标准（或代表集合）规定符号。 3.1.1 数感 数感，即感知事物多少的心理能力。 原始人类较早的“有”与“无”、“多”与“少”的认识 某些鸟类和黄蜂具有数感，例如，乌鸦的数感 3.1.2 一一对应计数法与进位制 一一对应的计数方法 例如，是用手指计数物体的个数 荷马（约公元前9~8世纪）的诗史中，独眼巨人波吕斐摩斯用石子计数羊只 澳洲土著人用身体的各部分来对应自然数 一一对应的计数方法很容易形成自然数的概念, 它是数概念发展的重要途径。 进位制 当计数较多的实物时，人类学会了一次用更大的单位计数的方法。 如，五进制：一五，一十，十五，二十，…… 十进制，这时从1到10的十个数都有自己的特殊名称，而从11开始，就用10的进位表示了。在英语中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，……；twenty意指“两个10 ”，而hundred则指“10个10”。 古代巴比伦人的六十进位制 玛雅数系中的二十进位制 计算机技术中的二进位制 进位制的转化 例如，四进制数（3021）4转化为十进制数的方法为： （3021）4=3·43+0·42+1·4+2=198 3.1.3 度量的数 使用具有确定标准的容器、长度（称为单位）等去度量，度量出的次数之大小就产生量的概念。人类的度量活动是产生数概念的途径之一。 度量数可以发展非整数性的小数和分数的概念 如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度中抽象出数的理念， 在古代中国的“黄钟起度”的传说 3.1.4抽象的数 数与被计算的东西分离开来了，出现了1，2，3，…这些无名数，无名数的出现标志着抽象的数概念的产生， 怀特海（1861~1947）：“首先注意到七条鱼和七天的共同点的人毕竟使思想史前进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人”。 教育的启示 学会1、2、3，…的概念，并不意味着就可以脱离具体事物进行抽象的数的思维。相反，当人们接触到数的符号或名称时，仍然与那些需要计算对象的某些具体表象联系在一起。 3.1.5 神秘的数 神秘数广泛存在于古代人类社会，数字在这里不表示什么同类的序列，也不用于最简单的数学运算，而是利用数本身的神秘性来预卜事物的未来。数被想象成具有神秘属性的代表物，它便通过宗教、神话来影响人类的生活。 原始人类对自然的认识是有限的，往往借助数——这个思维的抽象物，来解释世界上无法理解或控制的各种现象。于是神秘数就被不断用于卜筮、祈祷或其它宗教活动之中。甚至成为治国的工具。 如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，筹有《九畴》”的治国方针。夏王朝将天分为 “九天”；地为“九州”，并将州的官员称为“牧”。九州牧贡铜，铸造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己为九州之主。 春秋时期，用于筹算的“九九”表在中国也普遍使用。这或许可以看出，神秘数与运算中的数在历史发展中的先后顺序。 3.2数的表示方法 3.2.1 结绳与书契 结绳记数成为人类早期表示记数的方法 图3.2台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学） 中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。 结绳记数成为人类早期表示记数的方法 图3.3日本琉球群岛的结绳 “书契”，就是刻划。“书”是划痕，“契”是刻痕 如，在青海，1974年至1978年出土一批带刻口的骨片，是新 石器时代末期用于记事、记数的实物。 3.2.2文字记数 新石器时代中晚期的遗址（西安半坡、山东城子崖等都出现了数字符号。 如，在西安半坡人的遗址（距今约5000~6000年）中，发现陶器上刻的符号中有数字符号： “”（五）、“”（六）、“”（七）、“”（八）、“”（十）、“”（二十） 商代的甲骨文 “金文”（“钟鼎文”或“彝铭”）的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名称。 表示数的符号在人类历史上经历了漫长的演变过程，一直到1522年所谓阿拉伯数码（叫印度数码更确切些）才被世界各国所