数学史课件：第八章-现代数学与应用.ppt

第八章 现代数学与应用 数学的作用日趋广泛 数学是解决各种现实问题的工具 数学已成为自然科学、技术发展的重要 思想方法 20世纪下半叶，是应用数学发展的高峰期: 突变理论、模糊数学以及计算机数学应运而生. 数学应用受到社会的关注并取得前所未有的发展 数学与其它领域相结合而形成一系列交叉学科 数学模型给出的结果，可以给这一现象解 释 如下： 因战争捕鱼量下降，凶猛大鱼 的数量增加 战 后捕鱼量逐渐增加，凶猛大鱼的数量便逐渐下降。 世界本质上是非线性的：绝大多数的事物并非是稳定的、有序的和平衡的。  譬如，蝴蝶效应（对初始条件的敏感依赖性），描述这类系统的数学模型不同于牛顿力学的原理，而是更为复杂的非线性系统的原理和模型。 非线性问题没有一般的求解方法。往往很难求得准确解，常采用线性逼近的方法求得非线性问题的近似解。例如： “拟线性”的方法 。 按照这个模型考察短期人口的增长情况，基本是正确的。 但是用它未预见更长一段时期的情况，就很难奏效。比如， 1965年1月的世界人口是33.4亿，由于1960年至1970年世界人口的平均增长率为2%。按马尔萨斯的模型计算，到2660年，世界人口将达到3.6×107亿。这样，即使我们把占地球面积80%的水面也住上人，届时每个人的肩上也得站两个人。 其中c＞0是常数，它由t0时的人口数x0=α/(β+c)确定。当t趋于无穷大时，x 趋于α/β。这表示在资源有限的区域内，人口不能无限制地增长，它要趋于一个饱和值（α/β）。 按照逻辑斯蒂模型计算，地球总人数的饱和值估计将是107.6亿，而按照这一模型曲线，在人口达到这个饱和值的一半之前，是人口加速增长时期；达到其一半之后，人口增长率就降低，进入减速增长时期，最终的增长率趋于零。 1967年，杨振宁在研究规范场理论的推广问题时，发现了黎曼几何中的公式规范场公式的特例。 1975年初杨振宁听了一系列数学讲座，开始使用纤维丛理论解释物理现象，并于当年发表了论文,明确指出了 纤维丛理论和规范场理论的联系，将这两个领域的概念建立了一 一对应的关系  杨——米尔斯理论乃是吸引未来越来越多数学家的一门年轻的学科。 突变现象则是自然界和社会中普遍存在的另一类不具有稳定状态的客观现象， 1972年，法国拓扑学家托姆创立了突变理论的数学模型。突变理论就是运用一些典型函数在一些临界点（即能使系统状态在微小“扰动”下产生巨变的自变量值）的性态来刻划突变现象。 整个行为曲面由液态的 高密度区向气态的低密度倾斜，说明随温度上升和压力下降，密度变小  设温度和压力沿AB方向变化，在行为曲面上水的密度处于渐变过程中。但到了折叠的边缘，只要温度和压力沿AB方向再离开F一点点，水的密度值就突然跌到行为曲面的下叶的气态区域。这时水由液态变为气态，形成一次突变。反之，如果温度和压力沿着BA的方向变化，，起初水的气态密度在行为曲面下叶沿连续地有所增加。但到了折叠的另一个边缘，密度值突然上升到曲面上叶的液态区域，水蒸气变为液态的水，这也是一次突变。 现在的问题是，在已知支付结构的情况下，双方的局中人做怎样的选择才是最佳的？ 从数学的观点上看，极大极小定理对于竞争双方的零和对策，已经提供了唯一的数值解。但在现实中，对策的局中人可能不只是两个，或者局中人赢得的支付又未必等于另一局中人输掉的支付 美国数学家纳什将极大极小定理推广到了有两个或更多个局中人的非零和对策——所谓的“非合作对策”的情景。并得到了重要的结论——纳什定理：在任意一个n个人参加的非合作对策（零和或非零和）中，如果每个局中人有有限个纯策略，那么，至少有一个策略平衡组 。 纳什的工作于1994年获得了经济学诺贝尔奖，这是在使诺贝尔奖建立93年之后，第一次授予了一个纯数学理论研究成果。 式中的x表示50岁以上的人的年龄，由计算可知： μ老年人（55）= 0.5 这表示55岁的人只能算“半老”，因为他属于老年人集合的隶属度为0.5。60岁的人的隶属度为0.8。65岁的为0.9。70岁的为0.91。80岁的为0.97。90岁的为0.98，等等 1903年，颇具声望的美国数学会的一次会议上，数学家科尔一言不发地在黑板上用193707721和761838257278相乘，得出的积是梅森素数M67。由此获得全场听众的热烈掌声。殊不知科尔的发现耗费了他自己20年所有周日的下午。 （二）运用数学语言研究《红楼梦》的作者和成书过程(80年代） 中国数学家李贤平在美国威斯康星大学，运用计算机技术的模式识别法和统计学家使用的探索性数据分析法，又提出了一个《红楼梦》成书过程的观点：《红楼梦》各回所写内