数论专题一.pptVIP

* * 数论专题一 主讲：赖建文 例题1、已知九位数2007□12□2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少?????? 考点：整除问题 设这个数为2007a12b2 因为这个数是9的倍数，所以各个数位相加的和能被9整除，即：2+0+0+7+a+1+2+b+2=14+a+b 9/14+a+b 又因为这个数是11的倍数，所以偶数位的数字之和与奇数位数字之和的差（大的减小的） 偶数位置之和：2+0+a+2+2=6+a 奇数位置之和：0+7+1+b=8+b 11/2+b－a 发现当b=9,a=0时，能整除于11，但是不能整除于9，所以当a+b=4时，只有a=3,b=1时才能整除11，即这个数为200731212 例题2、试求出两两互质的不同三个自然数，使得其中任意两个数的和能被第三个数整除？ 解：设三个数分别为x、y、z且x＜y＜z 依题意得：（y+z）÷x, (z+x) ÷y, (x+y) ÷z 都是整数。 先考虑最小的那个，即：（x+y) ÷z,容易发现 ：1≤（x+y) ÷z＜ （z+z) ÷z =2 所以：（x+y) ÷z=1 即：（x+y) =z 在考虑(z+x) ÷y得出(x+x+y) ÷y=2x÷y+1 ,容易发现 1≤2x÷y＜2y÷y=2,所以2x÷y=1，即2x=y 从而，这三个数分别为x,y=2x,z=x+y=3x.又因为这三个数两两互质，所以x=1 于是，所求的三个数为1，2，3. 例题3、用0~9这10个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用依次，那么这些合数之和的最小值是______； 考点：质数、合数问题详解：要使合数的和最小，当然都是一位数最小，可是0、1、2、3、5、7不是合数，处理的办法是两个组成合数，且十位上数字尽可能小，为1□、2□、3□，具体的合数是15、27、35，这样六个合数的和为4?6?8?9?10?27?35?99 例题4、学校打算在1月4日或1月10日组织同学们看电影，确定好日期后，老师告诉了班长，但是由于“四”和“十”发音接近，班长有10%的可能性听错（把4听成10或者把10听成4），班长又把日期告诉了小明，小明也有10%的可能性听错。那么小明认为看电影的日期是正确的可能性为_____%； 考点：概率问题详解：小明认为正确的情况有两种：（1）班长正确、小明正确，共（1?10%）?（1?10%）?81%；（2）两人都错误，10%?10%?1%。共81%?1%?82%。评注：本题最容易的错误答案是81%。 例题5、图是某地区街道示意图。由A点到B点，只能向上或向右走，共有多少种不同的走法？ 例题6、将5枚棋子放入下图编号的4×4表格的格子中，每个格子最多放一枚，如果要求每行，每列都有棋子，那么共有_____种不同放法。 解：由于每行每列都要有棋子，所以必须有一行有2个棋子，却不可能有一行有3个或者3个以上棋子。而其他3行各有一个棋子。 首先：只看有2枚棋子的那一行，有4种选择，选定某行后，在这行放入2个棋子，有6种选择，所以将2枚棋子放入同一行有4×6=24种放法。 其次;放好一行后，还剩下3行2列没有棋子，所以剩下的3个棋子每行1个，在这里就有2种情况。（1）、其中的一枚与早先放好的2枚棋子中的某一枚同列，这个棋子的放法有6种，剩下的2枚棋子有2种选择，即：6×2=12 （2）、剩下的三枚都不与早先放好的2枚棋子同列，这样的话其中必有2枚棋子同列，有6种情况，而剩下的1枚棋子单独1列，只有1种情况，即6×1=6。 所以满足条件的放法有：24×（12+6）=432种 例题7、对于由1—5组成的无重复数字的五位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的一次置换操作：记首位数字为k，则将数字k与第k位上的数字对换。例如，24513可以进行两次置换，24513→42513→12543.可以进行4次置换的五位数有_____个 *