第11章代数学的解放.ppt

11、年轻人的事业——代数学的解放 从代数方程的解法到群论 代数学的扩张 11.1.1 问题的提出 代数方程的可解性 代数方程的可解性 1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定理 每一个次数大于等于1的n次复系数多项式恰有n个根 阿贝尔（Abel,1802-1829）挪威数学家。1802年8月5日生于挪威首都奥斯陆，是教区穷牧师的六个孩子之一。1815年进中学里读书 15岁时优秀的数学教师洪堡（Holmbo 1795-1850）发现了阿贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数学产生了浓厚的兴趣。 在丹麦数学家戴根（Carl Ferdinand Degen 1766-1825）建议下，阿贝尔开始转向对椭圆函数的研究，成为椭圆函数论的奠基人 1821年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入克里斯蒂安尼亚大学。 1823年，阿贝尔发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河 1824年，阿贝尔解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文也寄给了格廷根的高斯，但是高斯连信都未开封 1825年，阿贝尔去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔（Auguste Leopold Crelle 1780-1856）。他与斯坦纳建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文 1826年，阿贝尔来到巴黎，他见到了柯西、勒让德、狄利克雷等人，但这些数学家并没有真正认识到他的天才 撰写了《关于一类极广泛的超越函数的一般性质》的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪堡的信中，非常自信地说：“...已确定在下个月的科学院例会上宣读我的论文,由柯西审阅,恐怕还没有来得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现在正昂首以待...。” 负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信 阿贝尔一气之下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于1827年5月20日回到了挪威，过渡疲劳和营养不良，在旅途上感染了肺结核 一边与病魔作斗争一边继续进行数学研究。他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过代课教师 阿贝尔和雅可比（Jacobi 1804-1851）是公认的椭圆函数论的创始人。雅可比看见这篇椭圆函数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之后，非常吃惊，在1829年3月14日写信给巴黎科学院表示抗议：“...这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽然向‘老爷们’的研究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？...” 而由于阿贝尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了 1829年4月，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月6日上午11点去世 作为命运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定招聘您为柏林大学教授...，一个月之内就能发出招聘书...。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出 克莱尔在他的《学报》中所写的纪念文章里这样赞扬阿贝尔：“阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才的烙印和表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够穿透一切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势...。他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众，使他人品也像他的天才那样受到人们不同寻常的爱戴。” 数学家们另有他法纪念他们中的伟人，因为我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判别法、阿贝尔可和性。很少有几个数学家能使他的名字同数学中的这么多概念和定理联系在一起 阿贝尔修正了鲁菲尼证明中的缺陷，在1824年春天成功地证明了：用根式求解一般的五次方程是不可能的．在这个过程中，他首先证明了今天的阿贝尔定理（鲁菲尼定理）：可用根式求解的方程的根能以这样的形式给出，出现在根的表达式中的每个根式都可表成方程的根和某些单位根的有理函数． 阿贝尔方程 阿贝尔还给出了特殊的可用根式求解的方程的特征：这些方程的所有根都是其中一个根的函数，即全部根为x，θ1(x)，θ2(x)，…，θn-1(x)．其中θi是有理函数． 1853年，克罗内克称具有这种特征的方程为阿贝尔方程． 阿贝尔证明了更一般的定理：如果一个方程的所有根能表示成其中一个根的有理函数，且对于其中任意的两个根θα，θβ，有 θα(θβ(x))=θβ(θα(x))． 则该方程可用根式求解． 几百年之久的求解高于