第十二章函数论的新发展---复变与实变.ppt

第十二章 函数论的新发展——复变函数论和实变函数论 序 由微积分拓宽、加深所成的数学分析是数学王国里的一个庞大家族，它包括有微积分、级数论、函数论、微分方程、积分方程、变分法、泛函分析等学科。函数论是这个家族中的主要成员，它的内容包括复变函数论和实变函数论。如果说微积分的直接扩展统治了18世纪的数学，那么复变函数论这最富饶的数学分支则称霸于19世纪的数学界，而作为积分学一场革命的产物—实变函数论则轰动于20世纪初叶的数坛。 §1、复变函数论 研究定义在复数平面上的函数的性质的数学分支称为复变函数论。 欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯、高斯、泊松都曾为复变函数论的创立作过一系列的准备工作。 促成复变函数论成为一门独立数学分支的是哥西和黎曼 。 哥西（1789.8.21---1857.5.23） 生于巴黎。1805年进入多科工艺学校学习工程，1810年毕业后在瑟堡任工程师。由于自幼表现出的数学才能，且因身体条件不佳，他父亲的朋友拉哥朗日、拉普拉斯等数学名家劝他献身于数学。1816年起他先后担任多科工艺学校、巴黎大学和法兰西学院的教授。 政治上---保皇党员，1830年法国共和体制建立，被迫出走，1838年返回祖国。 哥西的数学成就（1） 哥西的研究涉及数学的各个领域。他写的论文达789篇，仅次于欧拉，他的全集近代版有二十六卷，包含数学的一切分支。 他的最大贡献是发展了复变函数论的原理，取得了一些重要研究成果，如复变函数的几何概念、解析函数的积分表示法（哥西积分）以及残数理论等，都具有重要的意义。 哥西的数学成就（2） 哥西的第一篇重要论文是宣读于1814年、发表于1825年的《关于定积分理论的报告》，在这篇文章中，哥西证明了重要的“哥西定理”：单连通域内的解析函数沿任一闭路的积分为零；并由此建立了著名的“哥西公式”： 进而得到解析函数具有一切阶导数的结论。这样，哥西根据微分性质定义了解析复变函数。 哥西的数学成就（3） 1831年哥西得出了解析函数的幂级数收敛定理：f(z)在z0点所展成的幂级数的收敛半径,等于z0与f(z)的最近“奇点”的距离,1847年，他得到f(z)=P+Qi可导的条件是“哥西—黎曼方程” 成立。自1821年后，差不多25年中，哥西几乎一人发展了复变函数论，在创建复变函数论中立下了不朽的功勋。 黎曼(1826.9.17---1866.7.20) 德国数学家。生于汉诺威。农村牧师之子。1846年到哥廷根大学学习神学，不久就转学数学。他是高斯的高才生，1851年的博士论文《单复变函数一般理论基础》就是在高斯指导下完成的。1856年，他成为哥廷根大学的讲师，1859年接替狄里赫利成为数学教授。他因肺结核去世，年仅40岁。 黎曼的数学成就（1） 黎曼引入三角级数的理论，从而指出了积分论的方向，并奠定了近世解析数论的基础； 他创立了黎曼几何和黎曼微分几何，极大地丰富了非欧几何的内容； 在偏微分方程中他给出了解波动方程的一个重要方法； 他最早引入“黎曼面”这一概念，对拓扑学有重大影响； 他还有不少热、光、声、磁、气体理论及流体力学方面的论文。 黎曼的数学成就（2） 黎曼是复变函数论的主要创建者之一,1851年，在他的博士论文中同样得出哥西1847年的结论，还得到与此等价的结论：P和Q是一对所谓“共轭调和级数”，并以次作为研究解析函数理论的出发点。 他提出了共形映射原理 1857年,黎曼把单值解析函数推广到多值函数，建立了“黎曼面”的概念，并多值函数看作黎曼面上的单值函数。 维尔斯特拉斯 复变函数论的另一个奠基人是维尔斯特拉斯。简历第七章已做过一些介绍。 当过中学教师 1815年生，1864年（50岁）才成为教授，可以说是“大器晚成”，直到1897年逝世。。 维尔斯特拉斯的数学成就 维尔斯特拉斯不仅在微积分与复变函数论上，而且在代数、代数几何、变分法、算术基础上都有很多独特的发现。 他舍弃几何直观，以纯分析的观点研究复变函数论，他的《解析函数论》（1876年）一书，把复变函数论建立在幂级数的基础上。他把多项式与有理函数的理论推广到超越函数，用幂级数定义了超越整函数，并得到了整函数分解为无穷乘积和半纯函数可表为两个整函数之商等重要结果。 他还引进了解析开拓的概念，并用它定义了完全解析函数。 阿贝尔和雅可比的数学成就 在复变函数论上做出重要贡献的还有阿贝尔和雅可比，他们利用复变函数论的基本理论发展了一种特殊函数—椭圆函数。 阿贝尔(1802.8.5—1829.4.6) 生于挪威的一个小镇芬多。父亲是村里的基督教牧师，家境贫困。15岁时，他幸运地遇到一位优秀的教师洪堡，获其教导和资助。1821年入大学。 《克列尔杂志》前3卷登载阿贝尔22篇论文，为此而享有永恒的声誉。 他死后两天，克列尔通知他已被柏林大学任命为数学