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第二节 相似矩阵 (实对称矩阵与约旦标准形) 四、实对称矩阵的对角化 利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 五、 约旦标准形简介 小结 思考题 思考题解答 定理2.5 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 于是有 两式相减，得 定理2.5的意义 证明 于是 证明 它们的重数依次为 根据定理2.5（实对称矩阵的特征值为实数） 和定理2.7( 如上)可得： 设 的互不相等的特征值为 证明 (略) 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 写出正交矩阵和相应的对角矩阵. 5. 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 写出正交矩阵和相应的对角矩阵. 作 第五步 于是得正交阵 1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化；(4)最后正交化．
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