计算机图形学之-分形几何.ppt

◆分形和分维 ◆递归模型 8.1 分形和分维 8.2 递归模型 8.5 本章小结 8.6 习题 8.1分形和分维 真实的世界并不规则，闪电不是直线，海岸线不是弧线，云团不是球体，山峦也不是锥体。自然界的许多对象是如此不规则和支离破碎，以致欧氏几何学不能真实有效地再现大自然。 为了再现真实世界，必须选择新的工具，分形几何学应运而生。分形几何是以非规则物体为研究对象的几何学。由于闪电、海岸线、云团、山峦、海浪、野草、森林、火光等非规则物体在自然界里比比皆是，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。 8.1分形和分维 8.1.1 分形的诞生 8.1.2 分形的基本特征 8.1.3 分形的定义 8.1.4 分形维数的定义 8.1.1 分形的诞生 分形（Fractal）这个词，是由美籍法国数学家曼德尔布罗特（Benoit B.Mandelbrot）自己创造出来的，此词来源于拉丁文fractus，意为不规则、支离破碎。1967年曼德尔布罗特在美国《科学》杂志上发表了划时代的论文《英国海岸线有多长？统计自相似与分数维》，成为其分形思想萌芽的重要标志。1973年，在法兰西学院讲学期间，曼德尔布罗特提出了分形几何学的整体思想，并认为分数维是个可用于研究许多物理现象的有力工具。1982年曼德尔布罗特出版了《大自然的分形几何学》，引起了学术界的广泛重视，曼德尔布罗特也因此一举成名。 8.1.2 分形的基本特征 1.自相似性 自相似性是指局部与整体相似的性质。在自然界中，具有自相似性的物体比比皆是，起伏的山峦中一座座山峰和整体山脉，弯曲的河流中一个个支流和整体河川，茂密的树木上的一条条树杈和整体树木等，均具有自相似性，如图8-3所示的是蕨类植物叶子上的细叶和整体叶子的相似性。 2.无标度性 标度是计量单位的刻度。比如长度的标度是米；重量的标度是公斤；面积的标度是平方米等。对欧氏几何学内的不同形体，可以选择不同的标度去度量。例如，直线是多长，面积是多大，体积是多少。自然界中很多的物体具有特征长度，如人有高度、山有海拔等等。 8.1.3 分形的定义 一般认为，满足下列条件的图形称为分形集： 分形集具有任意尺度下的比例细节，或者说具有精细结构； 分形集是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 分形集通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的自相似。 分形集在某种方式下定义的“分维数”一般大于它的拓扑维数。 分形集的定义常常是非常简单的，或许是递归的。 8.1.4 分形维数的定义 维数是几何对象的一个重要特征量，它是欧氏几何学描述点的位置所需的独立坐标数目。为了定量地刻画分形，引入了分数维数的概念。分数维数与欧氏几何学中的整数维数相对应。 分形理论认为，维数中可以包含有小数。把分数维数记为D，一般称为分数维或分维。 分维的计算公式为： 其中D代表分维，N为和整体自相似的局部形体个数，S为相似比，等于整体和局部之比。 注：分维的计算结果是两个参数的对数值之比，所以分维的计算结果不一定是整数。 ⑴对于直线： 将一直线段二等分， 则N=2，S=2，即2=21，所以，分维D=1 ⑵对于平面： 将正方形四等分，则N=4，S=2，即4=22，所以，分维D=2 ⑶对于立体： 将立方体八等分， N=8，S=2，即8=23，所以，分维D=3 ⑷对于典型的分形曲线，例如Koch曲线，构成方法如下： 取一直线段，将其三等分，保留两端的两段，将中间一段拉起为等边三角形的两条边。N=4，S=3，分维D=ln4/ln3=1.26186。从图8-7中n＝5的递归图形中可以看出koch曲线点点连续，但点点不可导，属于病态曲线；koch曲线局部和整体相似，具有自相似性。因此可以使用koch曲线来模拟海岸线。 8.2递归模型 分形图形的传统实现模型是递归模型。在调用一个函数的过程中，直接或间接地调用函数自身，称为递归调用。例如n！可以采用递归模型实现。即5！＝5×4！，而4！＝4×3！，……，1！＝1，递归公式表示如下： 阶乘递归子函数如下： Long fac(int n) { long f; If (n==0 || 1） f=1; Else f=fac(n-1)*n; Return f; } 8.2递归模型 8.2.1 Cantor集 8.2.2 Koch曲线 8.2.3 Peano-Hilbert曲线 8.2.4 Sierpinski垫片、地毯和海绵 8.2.5 C字曲线 8.2.6 Caley树 8.2.1 Cantor集 集合论的创始人康托（G.C