2019版高考数学一轮复习三考点纵横——5大常考考点之神思妙解增分册作业本理.doc

三、考点纵横——5大常考考点之神思妙解 常考点1　最值问题的5大解法 方法1　函数法 (1)利用已知函数性质求最值 根据已知的函数解析式,直接利用基本初等函数的性质(单调性、奇偶性等)是函数法的主要类型之一. 典例1　函数y=cos 2x+2cos x的最小值是　　　　.? 答案　- 解析　y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1 =2-≥-, 当且仅当cos x=-时,函数取得最小值-. (2)构建函数模型求最值 很多最值问题需要先建立函数模型,然后利用函数性质求解.建立函数模型的关键是找到一个变量,利用该变量表示求解目标,变量可以是实数,也可以是角度(弧度制实际上也可以看作一个实数),还可以是变量不等式等,建立函数模型需要注意建立的函数模型的定义域. 典例2　在△ABC中,点D满足=,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=(λ-1)2+μ2的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设=x(0≤x≤1), 因为=+=+=+(-)=+,所以=x+x, 又=λ+μ,且,不共线,所以λ=x,μ=x, 所以t=(λ-1)2+μ2=+=(5x2-4x+8),在x=时取得最小值.故选C. 点评　已知E点在线段AD上移动,利用共线向量定理设出变量x,建立求解目标关于x的函数关系后利用函数性质求解. 方法2　不等式法 (1)利用基本不等式求最值 基本不等式是求最值的常用方法之一,使用基本不等式时要注意:①基本不等式的使用条件和等号是否能够成立;②变换已知不等式使之符合使用基本不等式的条件. 典例3　已知圆O的半径为1,HM,HN为该圆的两条切线,M,N为两切点,那么·的最小值为　　　　.? 答案　2-3 解析　连接OH,OM,ON,设∠OHM=∠OHN=θ,0θ,则||=||=, 所以·=||·||·cos 2θ === == =(1-cos 2θ)+-3≥2-3, 当且仅当1-cos 2θ=,即cos 2θ=1-时等号成立. (2)建立求解目标的不等式求最值 把求解目标归入一个不等式,通过解不等式得出目标的最值,是求最值的常用方法之一. 典例4　已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(ab0),c0,且c2=a2-b2.若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的最大值为　　　　.? 答案　 解析　由题意得可得结合e∈(0,1),可得0e≤.∴e的最大值为. 方法3　导数法 (1)直接使用导数求最值 三次函数、指数、对数与其他函数综合的函数,求最值时要利用导数法.基本步骤:确定单调性和极值,结合已知区间和区间的端点值确定最值. 典例5　已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f (n)的最小值是　　　　.? 思路点拨　分别求出f(m), f (n)的最小值相加即可. 答案　-13 解析　f (x)=-3x2+2ax, 根据已知得f (2)=0,得a=3, 所以f (x)=-3x2+6x,令f (x)=0,得x=0或x=2, 当x0时, f (x)0, f(x)单调递减, 当0x2时, f (x)0, f(x)单调递增, 当x2时, f (x)0, f(x)单调递减, 所以f(m)在[-1,1]上的最小值为f(0)=-4, 又f (n)=-3n2+6n在[-1,1]上单调递增, 所以f (n)的最小值为f (-1)=-9. 故[f(m)+f (n)]min=f(m)min+f (n)min=-4-9=-13. (2)构造函数利用导数求最值 不等式恒成立问题的一个基本处理方法是转化为函数最值问题,需要通过构造函数求函数最值,而求函数最值时导数方法是最有效的.注意使用导数求函数最值的基本步骤. 典例6　已知函数f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.若存在x∈(e是自然对数的底数,e=2.718 28…)使不等式2f(x)≥g(x)成立,求实数a的最大值. 解析　由题意知2xln x≥-x2+ax-3,x∈,即a≤2ln x+x+,x∈. 令h(x)=2ln x+x+,x∈,则h(x)=+1-=,当x∈时,h(x)0,此时h(x)单调递减; 当x∈(1,e]时,h(x)0,此时h(x)单调递增. 所以h(x)max=max, 因为存在x∈,使2f(x)≥g(x)成立, 所以a≤h(x)max,又h=-2++3e,h(e)=2+e+, 所以h-h(e)=-4+2e-0, 故hh(e),所以a≤+3e-2. 即a的最大值为+3e-2. 点评　2f(x)≥g(x)可变形为a≤2ln x+x+,由题意可知,a小于或等于h(x)=2ln x+x+的最大值,从而将问题转化为求函数h(x)=2ln x+x+,x