目标函数和约束条件三部分组成-西南科技大学网络教育学院.PPT

5. 优 化 设 计 5.1 优化设计的数学模型 5.1.1 优化设计的定义 一、优化设计的定义 最优化设计是借助最优化数值计算方法和计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。 即：进行最优化设计时，首先必须将实际问题加以数学描述，形成一组由数学表达式组成的数学模型，然后选择一种最优化数值计算方法和计算机程序，在计算机上运算求解，得到一组最佳的设计参数。 5.1.1 优化设计的定义 实例1： 有一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小方块的边长，以使做成的盒子具有最大的容积。 解：设裁去的四个小方块的边长为x，则盒子的容积可表示成x的函数 f(x)＝x(6-2x)2 5.1.1 优化设计的定义 于是，上述问题可描述为 变量 x—设计变量 f(x)＝x(6-2x)2—目标函数 g(x)＝x0 —约束条件 使函数 f(x)＝x(6-2x)2 极大化 即对 f(x)= 6x-2x3 求导 f’(x)=1-x2=0 得出：x=1, -1 ∵ x0 ∴ x=1 为所求解。 5.1.2 数学模型的一般形式 实例可以看出，优化设计的数学模型由设计变量、目标函数和约束条件三部分组成，可写成以下统一形式： 求变量 x1,x2, …..,xn 使极小化函数 f(x1,x2, …..,xn) 满足约束条件 gu(x1,x2,…..,xn)≤0 (u=1,2,…m) hv(x1,x2,…..,xn)=0 (v=1,2,…p) 实例 2 某工厂生产甲、乙两种产品。生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见下表。试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。 这是一个生产计划问题，可归结为既满足各项生产条件，又使每天所能获得的利润达到最大的优化设计问题。 解：设每天生产甲产品x1件，乙产品x2件，每天获得的利润可用函数f(x1,x2)表示，即 f(x1,x2)=60 x1+120x2 每天实际消耗的材料、工时和电力可分别用函数g1(x1,x2)、g2(x1,x2)和g3(x1,x2)表示，即 于是上述生产计划问题可归结为 最优化问题的分类: 1、按是否包含有约束条件分：无约束优化问题和约束优化问题。 ２、按设计变量的多少可分：单变量优化和多变量优化。 ３、按目标函数和约束函数的性质可分：线性规划和非线性规划。 　　当数学模型中的目标函数和约束函数均为设计变量的线性函数时，称此设计问题为线性优化问题或线性规划问题。 　　当数学模型中的目标函数和约束函数中至少一个为非线性函数时，称此设计问题为非线性优化问题或非线性规划问题。 5.1.3 设计变量与设计空间 1 设计变量的定义 　　设计变量是指在设计过程中可以进行调整和优选的独立参数。 　　设计变量的选择： 　　应该选择那些与目标函数和约束函数密切相关的，能够表达设计对象特征的基本参数。 5.1.3 设计变量与设计空间 2 设计变量的分类 　　１）连续变量：可以在实数范围内连续取值的变量。 注：大多数机械优化问题的设计变量都属于这种变量。可用常规的优化方法进行求解。 　　２）离散变量：只能在给定数列或集合中取值的变量。 注：少数的机械优化问题的设计变量是离散变量，对于离散变量的优化问题，可先将其视为连续变量，用常规的优化方法最优解。 5.1.3 设计变量与设计空间 3 设计空间 若n个设计变量x1,x2,…xn相互独立，则由它们形成的向量X=[x1,x2,…xn]T的全体集合构成的一个n维实欧氏空间，称为设计空间，记Rn。 一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称为设计点。 设计变量的个数n称为优化设计的维数。 1）如n=2就是二维设计问题，可用图5.1所示的平面直角坐标来表示； 2）如n=3就是三维设计问题，可用图5.2所示的直角空间坐标来表示。 5.1.3 设计变量与设计空间 5.1.4 目标函数与等值线 1、目标函数 1）目标函数的定义 目标函数是通过设计变量来表示的设计所追求目标的数学表达式，又称为标量函数。 2）目标函数