杭州市2012年中考数学可能考到的难题解析.doc

杭州市2012年中考数学可能考到的难题解析 猜题1： 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示；抛物线经过点B． （1）求点B的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 答：(1)过点B作，垂足为D， ∵ ∴ 又∵ ∴△≌△, ∴==1，==2； ∴点B的坐标为（-3，1）； （2）抛物线经过点B(-3,1)，则得到， 解得，所以抛物线解析式为； （3）假设存在P、Q两点，使得△ACP是直角三角形： ①若以AC为直角边，点C为直角顶点； 则延长至点，使得，得到等腰直角三角形△，过点作, ∵1=，，；∴△≌△ ∴==2, ∴==1, 可求得点P1（1，-1）； 经检验点P1（1，-1）在抛物线上，使得△是等腰直角三角形； ②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作,且使得, 得到等腰直角三角形△,过点P2作，同理可证△≌△； ∴==2, == 1, 可求得点（2，1）； 经检验点（2，1）也在抛物线上，使得△也是等腰直角三角形. 猜题2： 已知：在Rt△ABO中，∠OAB=90°,∠BOA=30°，AB=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△ABO沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处. ⑴求点C的坐标；（3分） ⑵若抛物线经过C.A两点，求此抛物线的解析式；（4分） ⑶若上述抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为很等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. （5分） 答：⑴过点C作CH⊥轴，垂足为H ∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝ 由折叠知，∠COB＝300，OC＝OA＝ ∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3 ∴C点坐标为（，3） ⑵由抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点，得 解得 ∴此抛物线的解析式为： ⑶ 存在. 因为的顶点坐标为（，3）即为点C，MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝300，所以ON＝ ， ∴P（，） 作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E 把代入得： ∴ M（，），E（，） 同理：Q（，），D（，1） 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD 即，解得：，（舍） ∴ P点坐标为（，） ∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，） 猜题3： 已知点A(6，0)，B(0，3)，线段AB上一点C，过C分别作CD⊥轴于D，作CE⊥轴于E，若四边形ODCE为正方形。 （1）求点C的坐标； （2）若过点C、E的抛物线的顶点落在正方形ODCE内（包括四边形上），求的取值范围； （3）在（2）题的抛物线中与直线AB相交于点C和另一点P，若△PEC∽△PBE，求此时抛物线的解析式。 答：（1）设直线AB的函数解析式： 则，解得 ∴ 由题意可设C（m,m）,则有，解得 ∴C（2，2） （2）由（1）可得E（0，2） ∵抛物线的顶点在正方形内，且过C，E两点 ∴,且抛物线的对称轴为 ∵即 ∴顶点纵坐标 ∴由题意得，解得 （3）∵∽ ∴，∠PEB=∠ECB 过点P作PH⊥EB于点H，可知∽ ∴ ∴可设P（） ∵P在直线上，∴解得 ∴P（），设抛物线，可知解得 ∴ 猜题4： （本小题满分12分）．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的相切； （2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：． 答：（1）设点P的坐标为，则 PM＝; 又因为点P到直线的距离为， 所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切． （2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由（1）知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR． 因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是 ， 所以 ， 因此，Rt△∽Rt△． 于是，从而