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欧几里得空间9.5
* * 一、正交子空间 二、子空间的正交补 一、欧氏空间中的正交子空间 1．定义： 1) 与 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 则称子空间 与 为正交的，记作 则称向量 与子空间 正交，记作 恒有 2) 对给定向量 如果对 恒有 注： ① 当且仅当 中每个向量都与 正交． ② ③ 当 且 时，必有 证明：设子空间 两两正交， 2．两两正交的子空间的和必是直和． 要证明 中零向量分解式唯一． 只须证： 设 由内积的正定性，可知 二、子空间的正交补 1．定义： 如果欧氏空间V的子空间 满足 并且 则称 为 的正交补. 2． 维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补. ② 维欧氏空间V的子空间W满足: ① 子空间W的正交补记为 即 i) ii) iii) 注： ⅳ) W的正交补 必是W的余子空间. 但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补. 称 为 在子空间W上的内射影. 3．内射影 设W是欧氏空间V的子空间，由 对 有唯一的 使 *
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