欧几里德空间(定稿).doc

欧几里德的数学情怀 ――译者导言 一，欧几里德生事 欧几里德大约生活在约公元前330－前275年之间。除“几何学原本”外，还有不少著作，如“已知数”、“图形的分割”、“纠错集”、“园锥典线”、“曲面轨迹”、“观测天文学”等，　早年在雅典受教育，熟知柏拉图的学说。公元前３００年左右，受托勒密王（前３６４-前２８３）之邀，到埃及统治下的亚历山大城工作，长期事教学、研究和著述数学、天文、光学和音乐方面的《原本》１３卷，原稿已失传，现存的是公元４世纪末西翁的修订本和１８世纪在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄原本。这部西方世界现存最古老的著作，为２０００年来用公理法建立演绎的数学体系德摩根曾说，除了《圣经》，再没有任何一种书像《原本》这样拥有如此众多的读者，被译成如此多种语言。从１４８２年到１９世纪末，《原本》的各种版本竟用各种语言出了１０００版以上。明朝万历年间(１６０７)，徐光启和意大利传教士利玛窦把前6卷译成中文出版，定名为“几何学原本”。“几何”这个数学名词就是这样来的。《几何学原本》是中国近代翻译的第一部西方数学著作。古籍中记了两则故事托勒密国王问欧几里德，捷径欧几里德答道：“几何无王者之道。”意思是在几何学里没有专门为国王铺设的大路。这句话成为千古传诵的箴言。另一个故事说：一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何之后将得到些什么。欧几里德说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实利。”“自明的”这位希腊古典文化哺育起来的学者，运用惊人的才智，演绎体系欧几里德是第一个将三段论构建的人，他的贡献就像太阳一样光辉灿烂。19世纪以前一切有关初等几何的论著都以《几何原本》作为根据。“欧几里德”成为几何学的代名词，人们并且把这种体系的几何学叫做欧几里德几何学。1.?? 建立了公理演绎体系，即用公理、公设和定义的推证方法。2.将逻辑证明系统地引入数学中，确立了逻辑学的基本方法。３，创造了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。 相对《原本》中的几何知识而言，它所蕴含的方法论意义更重大。事实上，欧几里德本人对它的几何学的实际应用并不关心，他关心的是他的几何体系内在逻辑的严密性。它为人类知识的整理、系统阐述提供了一种模式。从此，类的知识整理为从基本概念、公理或定律出发的严密的演绎体系成为人类的梦想。斯宾诺莎的伦理学就是按这种模式阐述的，牛顿的《自然哲学的数学原理》同样如此。　在《几何学原本》中，欧几里德首先给出了点、线、面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何和关于量的十条公理，如“凡直角都相等”、“整体大于部分”以及后来引起许多纷争的“平行线公理”等等。公理后面是一个一个的命题及其证明，内容丰富。比如有平面作图，勾股定理，余弦定理，园的各种性质， 空间中平面和直线的垂直、平行和相交等关系，平行六面体，棱锥、棱柱、园锥、园柱，球等问题，此外还有比例的理论，正整数的性质与分类，无理量等等。公理化结构是近代数学的主要特征，而“几何学原本”则是公理化结构的最早典范。欧几里德零的不连贯的 13 卷，有 5 条公设、5 条公理、119 个定义和 465 个命题，构成历史上第一个数学公理体系。各卷的内容大致可分类如下： 第一卷 几何基础篇23 个定义、48 个命题；另外提出了 5 条公设和 5 条公理，但之后就再没有加入新的公设或公理。 第二卷 几何代数以几何方式研究代数公式。例如：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2。 第三及第四卷 圆形及正多边形讨论圆形的性质和正多边形的绘画方法。 第五卷 比例论 第六卷 相似图形 第七、八、九卷 数论探讨偶数、奇数、质数、完全数等性质。 第十卷 不可公度量共有命题 115 个，是最冗长、最富争议性但最精密的一卷。 第十一至第十三卷 立体几何探讨立体几何中的定理，并证明祇有五种正多面体的现象。 关于重要命题。《几何学原本》中涉及到诸多重要命题。比如命题 I.47陈述：“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形面积等于夹于直角两边上正方形面积之和。”这就是著名的“勾股定理”。传说这一定理最早是由毕达哥拉斯证明出的，但他的证明方法却没有流传下来。而《几何学原本》中的证明，则可以算是现存西方最早证明勾股定理的记载。 命题 II.12陈述：“在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方形比夹钝角的二边上的正方形的和大一个矩形的二倍。即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。”命题 II.13陈述：“在锐角三角形中，锐角对边上的正方形比夹锐角的二边上的正方形的和小一个矩形的二倍。即由另一锐角向对边作垂直线，垂足到原锐角之间一段与该边所构成的矩形。”此二命题（ II.12 及 II.13 就是现） 就是“余弦定律”。 命题 VII.1：“设有不相等的二数，从大数中连