牛顿问题[世界名题与小升初之四]更新版.doc

PAGE  PAGE 9 [阅读材料]世界名题与小升初之：牛顿问题 　　在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。以下用讲义形式出示小升初考试中的各类牛顿问题，又叫牛吃草问题，可以归类到工程问题中，初中学习时用多元一次方程组。 引 例：著名科学家牛顿著的《普通算术》一书有这样一道题：12头牛4周吃牧草格尔，同样牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完（格尔-—牧场面积单位）？以后人们称这类问题为牛顿的“牛吃草”问题。 解题技巧：牛吃草问题是一种较复杂的消元问题，这种题的关键是牧场上牧草的总数量在不断地变化，因此要解答好这类题首先要分析清草的变化情况，即常说的新生量。然后再找出牧场上原有草的数量，只要你请注意了这两点，就能很好地把问题解答出来。 上题较难，学完下面的例题再看这题的解析： 12头牛4周吃牧草格尔，那么10格尔草地，12×3=36头牛，吃4周。 10格尔草地每周长草：（21×9-36×4）÷（9-4）=9 24格尔草地每周长草：9÷10×24=21.6 10格尔草地原来有草：21×9-9×9=108， 24格尔草地原来有草：108÷10×24=259.2 259.2÷18=14.4 14.4+21.6=36头牛。 答：24格尔牧草，36头牛吃18周吃完 【典型例题】 基本题：匀速长草 例1 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.供25头牛可吃几天？ 分析与解 例题的难点，难就难在牧场上牧草的总数量不确定，它随着时间的增加而增加.但是不管它怎么增长，总草量总是由牧场原有草量和每天新长出的草量相加得来的.下面设法找出这两个量来. 　　从上面的图可以看出：10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量.为了求出一天新长的草量，下面进行转化.10头牛吃20天相当于200头牛吃一天，或一头牛吃200天.15头牛吃10天相当于150头牛吃一天，或一头牛吃150天.这一来每天新生的草量，相当于5头牛吃一天[5=（10×20-15×10）÷（20-10）]. 　　有了一天新生的草量???当于5头牛吃一天，那么，20天新生的草量就相当于100头牛吃一天.这一来原有的草量就相当于100头牛吃一天（100=10×20-5×20）.有了原有与新生的草量，问题便能很快求出解来. 　　分步列式如下： 　　10头牛20天吃的草可供多少头牛吃一天？ 　　10×20=200（头） 　　15头牛10天吃的草可供多少头牛吃一天？ 　　15×10=150（头） 　　（20-10）天新生的草可供多少头牛吃一天？ 　　200-150=50（头） 　　每天新生的草可供多少头牛吃一天？ 　　50÷10=5（头） 　　20天（或10天）新生的草可供多少头牛吃一天？ 　　5×20=100（头）或5×10=50（头） 　　原有草可供多少头牛吃一天？ 　　200-100=100（头）或150-50=100（头） 　　每天25头牛中的5头去吃新生的草，其余的牛吃原有的草，全部牧草几天吃完？ 　　100÷（25-5）=5（天） 　　综合算式： [10×20-（10×20-15×10）÷（20-10）×20]÷（25-5）=5（天） 　　答：25头牛5天吃完. 稍变化：草匀速减少 例2 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 解：以1头牛1天吃的草为1份。牧场上的草每天自然减少 （20×5-16×6）÷（6-5）=4（份）； 原来牧场有草（20+4）×5=120（份）； 可供11头牛吃120÷（11+4）=8（天）。 稍变化：淘水 例3 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 分析 与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。 　　如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30. 　　船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。 　　每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-